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Similitude directe & transformation réciproque
Bonsoir,
Je vous mets l'énoncé d'un sujet et mes réponses ainsi que les difficultés que je rencontre
"On considère la similitude directe f d'écriture complexe z' = [(1+i)/2] z + 1 + i et le point A (2 + 2i)"
1. Déterminer les éléments caractéristiques de f
==> Angle de 
/4 et un rapport de 
2 / 2, le centre 
a pour affixe (2i)
2. Déterminer l'affixe de A' = f(A)
==> Je trouve A' qui a pour affixe (1 + 3i)
3. Déterminer l'affixe de A0, antécédent de A par f
==> Je trouve A0 qui a pour affixe (2)
4. Soit M un point quelconque du plan complexe et M' son image par f.
* Quelle est la nature du triangle MM' ?
==> A l'aide du calcul en remplaçant M par A et M' par A', et en me servant de ma figure, je trouve un triangle rectangle en A' mais aussi isocèle en A'. Existe-t-il une autre méthode pour démontrer que ce triangle est rectangle et isocèle en M' ?
* Décrire une construction de M' connaissant M
==> Connaissant la position des points et M, on peut déterminer le programme de construction suivant ; on fait un angle de 
/4 à partir de M, où le point M' se trouvera sur cet angle. On trace la perpendiculaire à la demi droite [M'] et on replace le point M' à l'endroit convenu.
5. Déterminer l'écriture complexe de f-1, transformation réciproque de f
==> On sait qu'une transformation réciproque a un angle de -
, un rapport de 1/k et le même centre .
L'angle correspondant est donc -/4 et le rapport est 2, et son centre (2i).
Ainsi cette transformation a pour écriture complexe z' = [2 e-i(/4)][z - 2i] + 2 i
Ou alors z' a pour écriture complexe z' = [2 e-i(/4)][z] - 2
(On fait z' = az + b où l'on connaît a, et on cherche b en remplaçant z' par A0 et z par A, car la transformation réciproque de f transforme A en A0)
Voilà, en fait je ne fais plus que parler que de poser des questions,
Mais la question 4 a me pose souci, je me demande si l'on peut répondre comme ça.
Merci de vos réponses !
Bonne soirée,
Nikorasu.
Bonjour
alors tout est quasi bon, sauf ta démonstration de la nature de MM' car tu ne peux pas le faire en prenant un cas particulier (avec A et A')
en réalité, imagine le quart d'un carré, M serait un côté et M' va être le centre du carré (M' sur la diagonale) car M'=1/2.2 M
voilà, le reste est OK
la f-1 peut peut-être être écrite un peu plus simplement...
z'=(1-i)z-2 mais cela revient bien sûr au même!
Bonjour,
Merci de votre réponse
Pour la transformation inverse j'aurais pu l'écrire plus simplement en effet ^^
Par contre, je ne comprends pas trop l'histoire du carré.
J'ai bien compris que la similitude avait un angle de /4, et que le rapport de la similitude est de 1/2 2, c'est-à-dire que M' vaudra la moitié de la diagonale d'un carré.
Ou alors, si j'ai bien compris, le rapport et l'angle de la similitude construisent une sorte de demi-carré, où M' serait l'intersection de s deux diagonales de ce carré. Donc je peux énoncer le fait que dans un carré les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu ? Cela rejoindrait donc le fait que le triangle MM' est isocèle et rectangle en M', intersection et milieu des deux diagonales.
Bonne journée
Ou alors, si j'ai bien compris, le rapport et l'angle de la similitude construisent une sorte de demi-carré, où M' serait l'intersection de s deux diagonales de ce carré. Donc je peux énoncer le fait que dans un carré les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu ? Cela rejoindrait donc le fait que le triangle MM' est isocèle et rectangle en M', intersection et milieu des deux diagonales.
oui, c'est ça !....
Bonne journée à toi aussi!
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