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Similitudes
Bonjour,
J'aurais une question sur les similitudes. En traitant un exercice, la première était de démontrer qu'il s'agit d'une similitude directe plane, ce que j'ai fait en mettant l'application sous la forme z'=az+b. L'application c'est S, avec x'=(1/2)x-ay et y'=ax+(1/2)y+1, avec a un réel. Et on demande ensuite de trouver la nature de l'ensemble des images d'un point A du plan par S.
Aidez moi svp, merci d'avance.
Bonjour,
énoncé mot à mot et entier
sans ça, ne veut rien dire du tout
combien de fois faudra-t-il le répéter, ce point 3 obligatoire de 
Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci
Soit (O, î, j) un repère orthonormé du plan. Pour tout réel a, on note Sa l'application de de P dans P l'application qui associe à tout point M(x,y) le point M'(x',y') tel que x'=(1/2)x-ay et y'=ax+(1/2)y+1
1) Démontrer que S est une similitudes directe plane .
2) Pour tout point A de P on note E l'ensemble des images de A par Sa. Quelle est la nature de E? Discuter puis donner une construction géométrique simple à partir des points O et A. Soit F l'ensemble des points A tels que A appartient à E. Donner une équation cartésienne de F et construire F.
Voilà pour l'énoncé. J'ai besoin d'aide pour la question 2)
Vraiment désolé 
que penses tu de ce que peut bien être l'image du plan entier P par une similitude en général ?
et vice versa ...
et de ce que pourrait être l'équation cartésienne du plan lui-même ?????
vu que une telle question est effectivement absurde
peut être qu'on ne demande pas du tout ça mais en fait tout autre chose ....
parmi les sujets intéressants possibles, mais va savoir... :
• ensemble des centres de la similitude selon les valeurs de "a"
• images d'un point A fixe selon les valeurs de a
et peut être d'autres à imaginer ...
Peut-être une piste mais je ne suis pas sûre de moi :
La similitude peut s'écrire sous forme : z' = (1/2 + ia)z +1 si je ne me trompe.
A étant un point donné, on a : zA' = (1/2)zA +1+ iaza
Si on note B le point d'affixe (1/2)zA +1, on obtient :
zA - zB = iazA
qu'on écrive ça en complexe ou sous forme (x; y) ne change pas grand chose à l'affaire :
à savoir quelque peut bien être la question réelle ....
celle posée ne tenant pas debout.
Bonjour,
2) Pour tout point A de P on note E l'ensemble des images de A par Sa.
Il faut bien sûr entendre
Une construction possible pour
il aurait été plus clair de l'appeler EA ...
cet ensemble pour un A fixé et a variable
(c'est d'ailleurs une des hypothèses que j'avais suggérées :
• images d'un point A fixe selon les valeurs de a
et :
"Soit F l'ensemble des points A tels que A appartient à EA"
sinon c'est encore plus nébuleux vu que là dedans tout varie A et a ...
"Soit F l'ensemble des points A tels que A appartient à EA"
Indice A ou pas cette partie reste nébuleuse.
mais non 
EA est l'ensemble des images de A lorsque a varie
on cherche les positions de A pour lesquelles A lui-même appartient à cet ensemble là pour ce A là.
une de ces positions :
l'ensemble de ces positions de A formant l'ensemble F
cet ensemble est d'ailleurs confondu avec mon autre hypothèses (vu sous un angle, tout autre, mais c'est bien le même ensemble) : l'ensemble des centres de similitudes selon les valeurs de a
et si A n'appartient pas à F, il n'appartient pas à son EA :
(ta figure, lake, en version dynamique faisant varier a pour A fixé. montrant l'appartenance de son image A' à EA en fonction de a)
calculs à faire ...
quel ensemble E est représenté par une équation paramétrique :
x'=(1/2)x-ay
y'=ax+(1/2)y+1
dans laquelle a est le paramètre variable et x, y des constantes fixes
?
ou obtenir une équation cartésienne f(x', y') =0 de E en éliminant a entre ces deux équations
(x et y étant encore une fois à considérer comme des constantes )
en plus avec tous les exemples fournis tu dois bien avoir une petite idée de ce que sont ces ensembles E pour ces exemples de point A donnés
à chaque point A (x, y) fixé du plan correspond un ensemble E différent de points (x', y') !! c'est ça qu'il faut comprendre dans cet énoncé)
et c'est surtout ne pas se mélanger les pinceaux entre ce qui est considéré comme fixe et ce qui est variable.
Bonjour,
tu as du montrer que z'=(0.5+ai)*z+i
On ne demande pas une équation cartésienne de l 'ensemble E seulement sa construction
Comme tu as deux renseignements visuels . ...
Pour tout A (zA)
si a=0 alors
pour tout couple de réels (n;p) ,montre que
k reel non nul
pour F
tu dois déterminer une équation cartésienne de F
Aa appartient à EA si A(a) est .......
un seul point de plan a une seule image...
on demande tout de même la nature explicite de E !!
qu'on la trouve en "regardant" la forme de l'équation écrite en complexes,
ou sous la forme d'une paire d'équations ou sous forme cartésienne ce sera pareil,
il s'agit de reconnaître la forme de ces écritures, de ce qui y est constant et de ce qui y varie.
sans avoir besoin de redémontrer que des points d'une droite sont alignés en en choisissant 3 au hasard et ainsi de noyer la discussion sous une pléthore de nouveaux éléments.
écrire z' = A + B*a avec A = 0.5z + i est une constante et B = iz aussi.
suffit et c'est instantanément terminé.
redémontrer que des points d'une droite sont alignés en en choisissant 3 au hasard et ainsi de noyer la discussion sous une pléthore de nouveaux éléments.
je me permets de préciser cette solution , puisqu'elle semble rejetée ( j'espère ne pas être bannie)
dans le plan (O,
,
)
On sait que z'=(0.5+ai)z+i (c'est l' écriture complexe de la similitude de l'exercice (rien de nouveau)
Construction de EA
Soit A un point donné d'affixe zA et plaçons dans le plan
déterminons pour a=0 ,l'affixe du point A0
déterminons le point I, le milieu de [A0] , ( la médiatrice de [OA] passe par l)
puis traçons le vecteur
ainsi on obtient l'image du point A , quand a=0 c'est à dire le point A0
montrons que tous les points images du point A pour tout réel a appartiennent à une même droite .
soient deux valeurs de a : n et m
An,et Am sont alignés sur la perpendiculaire à (AO) passant par A0
( ce qui montre que E est une droite pour chaque point A ,il faut bien le démontrer )
Tous les points images du point A sont sur la perpendiculaire à (OA) passant par A0
droite que l'on peut tracer au compas ...
Pour F ,
a point invariant défini pour chaque de valeur de a
zO'=i
on peut démontrer que pour tout a, le triangle O
a O'
est isocèle en O'
Bonsoir PLSVU,
on dirait que nous sommes parties sur la même idée, mais c'est sûr, j'ai fait des erreurs lorsque j'ai répondu :
Effectivement, l'écriture complexe (et pourquoi pas) de la similitude est, non pas :
zA' = (1/2)zA +1+ iaza
Rectification de la suite de mon message:
Si on note B le point d'affixe (1/2)zA +1, on obtient : zA - zB = iazA
En fait B a pour affixe (1/2)zA + i
et on obtient, au lieu de zA - zB) :
zA' - zB = iazA (R)
A part ça mon point B est ton point A0
Alors autre proposition pour E (pour a
0) :
(R) s'écrit aussi : (zA' - zB)/zA = ia
Or ia est un complexe d'argument + ou - pi/2 ( ou pi/2 modulo pi)
Et là, il s'agit de l'angle (OA; BA') (ce sont des vecteurs)
Et aussi, bac pro annoncé. Quel bac pro ? quel est le programme ?
On dirait en tout cas que les réponses de PSLVU te conviennent, donc les complexes sont connus ?
Bonjour à toutes et à tous,
Je me permets d'intervenir (peut-être à la place de mathafou ?)
Bien sûr, on est apparemment au niveau terminale et l'emploi des complexes est justifié.
Mais il me semble qu'on peut s'en passer sans problèmes (voire avantageusement) ici:
Pour la question 2)a), ils'agit de déterminer l'ensemble des images d'un point fixé lorsque
varie.
Le système d'équations précédent devient un système d'équations paramétrique de droite de paramètre avec:
un vecteur directeur de cette droite et un point
de cette droite.
Ces éléments, avec fixé permettent de la construire simplement.
2)b) revient à résoudre le système:
où il suffit d'éliminer le paramètre
pour tomber sur une équation de cercle:
Ce système, comme l'a indiqué mathafou, est aussi celui qui détermine l'ensemble des centres de la similitude directe de l'énoncé lorsque varie.
Bien sûr, les complexes marchent très bien mais je ne suis pas convaincu qu'ils soient dans l'esprit de l'énoncé.
Affaire de goût peut-être 
PLSVU ta solution n'est absolument pas rejetée !!
juste que je trouve ça inutilement compliqué
il est "de notoriété publique" (sans besoin de le redémontrer) que l'ensemble des points d'affixes
z = p + m t,
avec t parcourant 
et p et m deux constantes de 
, m≠ 0, est une droite,
dont cette équation est une équation paramétrique
qu'on l'écrive avec des complexes ou sous forme de coordonnées x, y :
x = x0 + a t
y = y0 + b t
(x0; y0) étant un point particulier fixé et (a; b) un vecteur directeur.
et il n'y a rien de plus à en dire à propos de la nature de E
(il suffit uniquement de lire correctement la formule de départ, de la mettre sous cette forme là par simple changement de notation sans aucun calcul :
xA' ou juste x = xA/2 - yA a
yA' ou juste y =(yA +2)/2 + xA a
droite passant par (xA/2; (yA +2)/2)
et dont un vecteur directeur est (-yA; xA )
"discuter" c'est la traduction de la condition "m ≠ 0" : (-yA; xA) ≠ (0; 0)
ensuite (ordre des questions de l'énoncé ...) pour construire E il suffit d'en exhiber deux points.
le point avec a = 0 tombe sous le sens : milieu de AC, C (0; 2)
le vecteur directeur (-yA; xA) indique immédiatement qu'elle est perpendiculaire à OA
d'où la construction de lake le 26-05-20 à 10:49
(je préfère renommer son A'0 en M, même si A'0 est plus parlant vu que c'est l'image de A quand a vaut 0
et son Ω en C, pour garder Ω pour des centres de quelque chose )
tout ça quasiment sans aucun calcul, que de la "réorganisation de données" pour les lire autrement
F s'obtient aussi quasiment sans calcul :
A appartient à sa droite E ssi A et H sont confondus
donc si et seulement si est un angle droit
(idem, F est privé de O)
lake : (peut-être à la place de mathafou ?)
on vient de se croiser à l'instant sur les mêmes idées ...
attention
2)b) revient à résoudre le système:
cela ne correspond pas à la question de l'énoncé
on ne demande pas les points pour lesquels A = A' (qui est le lieu des centres de la similitude, des points invariants dans cette similitude)
mais les points A qui sont sur leur droite E
(A' égal à A ou pas du tout, pour ce A là A' parcourt l'ensemble des points de E !!)
voir ma figure animée du 26-05-20 à 12:00
A n'est pas A' !!
A' se balade sur une droite E comme d'habitude, mais on veut que A soit tel que cette droite passe par A (que A ∈ EA)
alors c'est vrai que les deux lieux sont confondus
lieu des points A tels que A ∈ EA, l'énoncé ,
et ensemble des centres de similitude (A=A'), autre question différente.
si A ∈ E alors il existe un A' de E qui est confondu avec A, c'est à dire un certain a précis pour lequel ce A là est le centre de la similitude
mais ce A n'est tout de même pas défini comme ça !
sa propriété (de l'énoncé, d'appartenir à son ensemble E associé) est indépendante de toute valeur de a que ce soit et pas seulement pour une valeur particulière de a spécifique à ce A là !
Bonjour à tous
txxx, peux-tu mettre ton profil à jour s'il te plaît
Et peut-être aussi ton pays dans ton profil, car effectivement ce qui t'est demandé là ne correspond pas du tout à ce qu'en France les bac pro savent faire.
Rien que le fait de compléter ton profil, nous en saurions un peu plus sur l'étendue de tes connaissances utilisables.
merci à toi.
malou
Bonjour,
2)b) revient à résoudre le système:
cela ne correspond pas à la question de l'énoncé
on ne demande pas les points pour lesquels A = A' (qui est le lieu des centres de la similitude, des points invariants dans cette similitude)
J'avais fait l'amalgame avec le petit raisonnement suivant où
SI
La réciproque est immédiate:
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J'ai eu le tort de ne pas l'écrire.
Au reste, la figure de 12h20 faisait référence aux points de
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