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Similitudes directes
Bonjour tous le monde, voici l'un des exos que j'ai eu ce matin à mon DST de maths... Selon moi la 2è partie comporte une erreur d'énoncé et rend incorrecte la résolution de l'exercice, pourriez-vous confirmer ma pensée ?
Soit ABC, un triangle rectangle en B. Soit E un point du segment [AB]. Par le point E on mène une droite d qui coupe le segment [AC] en un point F et la droite (BC) en un point G. On suppose que les points E, F, G sont distincts des points A, B et C.
Le cercle circonscrit au triangle ABC et le cercle
circonscrit au triangle BEG se coupent en deux points distincts B et K.
1. Justifier l'existence d'une similitude plane directe S telle que S(A)=C et S(E)=G. Déterminer l'angle de S.
Pour cette question pas de problème, l'angle est .
2. Soit le centre de S.
Montrer que appartient aux cercles
et
Prouver que est différent de B.
Que peut-on déduire pour ?
Ca aussi c'est bon, on peut déduire que est le point K.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; ;
) d'unité graphique 1 cm. Les affixes respectives des A, B, C, D, E, F et G sont données par :
On admettra que le point F est le point d'intersection du segment [AC] et de la droite (GE) et que les conditions du début de l'énoncé sont vérifiées.
1. Placer ces points sur une figure et, à l'aide des résultats précédents, construire le point , centre de la similitude S.
Figure ci-jointe.
2. Soit S' la similitude plane directe telle que S'(A)=E et S'(C)=G. Déterminer l'écriture complexe de S' et déterminer l'affixe du centre de S'.
J'ai donc posé un système d'équation avec les points concernés par S', je trouve une écriture complexe invraisemblable et en discordance avec la question suivante. Personnellement, je souspçonne une erreur d'énoncé. Serait-ce effectivement le cas ?
3. Montre que les points et
sont confondus.
Si c'était effectivement le cas, alors la similitude S et la similitude S' serait une même unique similitude dont l'écriture complexe serait du type z' = az + b et dont l'écriture aurait été celle fournie à la réponse précédente.
Mais dans ce cas, cela voudrait dire que si l'on reprend cette écriture en voulant vérifier avec le fait que S(E) = G, cela implique que le b de l'écriture complexe soit égal à l'affixe de G, à savoir -5. Or ce n'est pas du tout ce que je trouve...
Voila pour ce qui est de l'énoncé, merci par avance des réponses que vous pourrez m'apporter.
@+
Bonsoir.
Je ne vois pas d'erreur 
Le système obtenu s'écrit :
a(2+4i)+b=0
a(3-4i)+b=-5
On obtient alors :
D'où l'écriture complexe de z' (peu sympathique il est vrai, mais pas "invraisemblable")
z invariant par S' ssi z' = z ce qui conduit à z = -1+2i
et donc
sauf erreur.
Oui en effet, je retrouve dans tes résultats les ébauches de mes calculs de ce matin, cela se simplifiait... Merci de m'avoir éclairé.
Bonsoir,
Je vais sans doute vous décevoir mais je n'ai pas trouvé d'erreur de texte.
Ce qui vous a fait défaut c'est, au lieu d'utiliser z'=az+b en l'appliquant aux points comme vous l'avez semble t-il fait, d'utiliser S'()= a.
Car si alors
Pour trouver le nombre complexe a il suffit de calculer le rapport de
.
Reste à trouver le nombre complexe b et pour ce faire on prend un point et son image. Ici A et son image E.
Donc donne
Et S' est définie par z'=az+b avec
.
On cherche l'invariant en résolvant
z'=z donc z=az+b ou encore z(1-a)=b soit encore
Par calcul on trouve -1+2i qui est l'affixe de K donc aussi de
ATTENTION: deux similitudes peuvent avoir le même centre et différer (soit par l'angle soit par le rapport).
Mireille Corobu
Veuillez m'excuser,
pendant que je rédigeais mon post je ne voyais pas que quelqu'un d'autre répondait.
Je propose une autre méthode pour trouver a et b, ça vaut la peine de la regarder.
On ne peut pas progresser sans faire des ratés.
Positiver chaque raté est le secret de la réussite
Merci pour vos réponses, j'ai en faite, fait exactement comme vous seulement la calculatrice étant interdite, certain calculs devenant imposant m'ont laissé croire que je m'égarais... Merci encore.
Je manque totalement d'entraînement pour faire des exercices de math car je ne professe plus depuis 5 ans, c'est donc avec beaucoup de recul que j'aborde les exercices. J'ai évacué beaucoup de connaissances mais conservé l'essenciel.
Pour les similitudes j'avais surtout retenu l'aspect géométrique et cet aspect les terminales qui viennent de les découvrir ne le domine pas encore et pourtant c'est très interessant.
Si j'en parle c'est parce que puisea comme beaucoup d'élèves s'attaque de suite au calcul sans regarder la figure. Quand j'ai lu son message j'ai de suite regardé la figure pour "voir" ce qu'est cette similitude S'.
Bien entendu on ne voit pas de suite le centre mais on voit de suite l'angle et le rapport. Et alors c'est facile de contrôler que l'angle n'est pas -
Pour lire l'angle sur la figure il sufffit de regarder un vecteur et son image donc ici et
. L'angle des vecteurs (
) est à peu près -98° à vu d'
il, certainement pas -90° car (AC) n'est pas perpendiculaire à (EG).
Par suite les données pour S' donne une similitude bien distincte de S.
Les rapports aussi sont très différents car pour S on lit sur le dessin que le rapport est GC/AE (rapport des distances bien entendu) et il me parait beaucoup plus grand que le rapport de S' qui est GE/AC
Je remercie donc puisea pour le dessin fourni que j'ai beaucoup apprécié car mes outils de mathématique (compas, double décimètre, équerre et calculatrice programmable depuis longtemps ne sont plus à portée de ma main ...).
Bon dimanche à tous, peut-être sous quelques bourrasques résiduelles, en Finistère la première tempête de fin d'année est passée.
Bonjur moi j'ai un petit problème c'est pour le 2) de la première partie.
J'aurais besoin d'aide car je ne sais pas du tout comment faire.
Si quelqu'un pourrait m'aider SVP jsuis vraiment larguée. merci d'avance
. Il est demander de démontrer que 
B (ce que j'ai fais) et il est demander qu'est-ce qu'on peut en déduire pour 
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