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Similitudes du Plan

Posté par
theprogrammeur 05-11-06 à 09:39

Bonjour à tous,

  Je bute sur une question concernant les similitudes et j'aurais besoin de votre aide. On se donne la définition suivante d'une similitude:

    - On appelle similitude du plan toute application injective F du plan telle que:
                    \forall (A,B,C,D)\in \mathcal{P}^4, A\not =B \Longrightarrow \frac{F(C)F(D)}{F(A)F(B)}

Dans une première partie on montre que les applications M(z)\mapsto M'(az+b) et M(z)\mapsto M'(a\bar{z}+b) sont bien des similitudes. En seconde partie on dois montrer que la forme de l'écriture complexe d'une similitude est uniquement de l'une ou l'autre des applications étudiées en premiere partie.

Soit f la traduction complexe d'une similitude F, et g l'application de \mathbb{C} dans \mathbb{C} définie par : \forall z \in \mathbb{C}, g(z)=\frac{f(z)-f(0)}{f(1)-f(0)}

J'arrive à obtenir les résultats suivants:
  1 - \forall (z,z')\in \mathbb{C}^2,\,\,\,\left| g(z)-g(z') \right| = |z-z'|
  2 - \forall z\in \mathbb{C},\,\,\,\left| g(z) \right|=|z|

Ensuite on doit montrer:
  \forall z \in \mathbb{C},\, Re(z)=Re(g(z))

Je ne vois pas comment obtenir ce résultat dans la mesure où on ne peut pas utiliser des relations avec les modules (je crois).

Merci de votre aide.

Posté par
theprogrammeurre : Similitudes du Plan 05-11-06 à 12:48

J'ai vraiment besoin d'aide. Merci

Posté par
theprogrammeurre : Similitudes du Plan 05-11-06 à 15:08

Personne n'a d'idée?

Posté par
theprogrammeurre : Similitudes du Plan 10-11-06 à 22:54

La réponse pour ceux que cela pourrait interesser, il suffit d'étudier |g(z)-g(1)|=|z-1| or g(1)=1 et on developpe avec les conjugés.

Voila...

Posté par
Tigweg Correcteurre : Similitudes du Plan 11-11-06 à 01:06

Bonsoir theprogrammeur et merci de ce topic,

c'est un problème intéressant mais je ne l'ai pas vu aujourd'hui
Peux-tu donner les questions suivantes s'il-te-plaît?

Tigweg

Posté par
theprogrammeurre : Similitudes du Plan 11-11-06 à 13:22

- Montrer que g(i)=i ou g(i)=-i
- Montrer que si g(i)=i alors il existe (a,b)\in \mathbb{C}^*\times\mathbb{C} tels que f: z\mapsto az+b
- Montrer que si g(i)=-i alors il existe (a,b)\in \mathbb{C}^*\times\mathbb{C} tels que f: z\mapsto a\bar{z}+b

Il y a une autre partie si cela t'interesse fait le moi savoir!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Similitudes du Plan 11-11-06 à 13:59

Merci !

Eh bien si ça ne te dérange pas, peux-tu en donner les grandes lignes (en abrégeant au besoin) ?
Tigweg

Posté par
theprogrammeurre : Similitudes du Plan 17-11-06 à 22:57

On peut montrer que g(i)=i\Longrightarrow \forall z\in \mathbb{C}, Im(g(z))=Im(z) en raisonnant par l'absurde. On fait la même chose avec le cas g(i)=-i. Le résultat tombe ensuite tout seul. Si tu veux que je détaille dit moi. Je m'excuse de répondre si tard mais je n'ai pas accès à internet en semaine.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Similitudes du Plan 18-11-06 à 01:36

Merci beaucoup, ça ira ainsi!
Merci d'être revenu spécialement, theprogrammeur!
Ton problème est vraiment intéressant, je connaissais le résultat mais pas la démonstration!

Tigweg


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