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Similitudes et f(A)=A, f(B)=B

Posté par
sgu35
26-06-21 à 20:55

Bonjour,
je cherche à finaliser une démonstration :
Soient A et B deux points distincts. Si f est une similitude telle que f(A)=A et f(B)=B, alors f est l'application identique ou la symétrie axiale d'axe (AB).

Voici la démonstration donnée par ce site (xmaths) :
Soient A et B deux points distincts. Soit f une similitude telle que f(A)=A et f(B)=B.
On a f(A)f(B)=AB, on peut en déduire que le rapport de la similitude est 1. Donc f est une isométrie.
Considérons un point M n'appartenant pas à la droite (AB).
Soit M'=f(M).
Si M'=M, alors f admet trois points fixes non alignés, donc f est l'identité.
Si M'\ne M, alors comme f est une isométrie, on a f(A)f(M)=AM donc AM'=AM.
De même BM'=BM.
On en déduit que A et B sont sur la médiatrice de [MM'], donc (AB) est la médiatrice de [MM'].
Considérons s la symétrie axiale d'axe (AB).
On a s\circ f(As(A)=A s\circ f(B)=s(B)=B et
de plus s\circ f(M)=s(M') et s(M')=M puisque (AB) est la médiatrice de [MM'].
Donc s\circ f est une similitude admettant trois points fixes non alignés, donc s\circ f=id
donc s\circ s\circ f=s donc id\circ f=s donc f=s
f est donc la symétrie axiale d'axe (AB).

Voici mes questions :
D'une part, que veut dire fixes?
D'autre part, on ne dit pas que l'image de la droite (AB) est exactement (AB) car on considère un point M n'appartenant pas à la droite (AB).

Posté par
sgu35
re : Similitudes et f(A)=A, f(B)=B 26-06-21 à 20:58

Je pense que fixes veut dire que l'image d'un point est justement ce point.

Posté par
Mateo_13
re : Similitudes et f(A)=A, f(B)=B 27-06-21 à 07:48

Bonjour sgu35

point fixe veut dire ce que tu as écrit, et on dit aussi point invariant.

La démonstration suppose connue la liste des isométries existantes, donc si tout le plan sauf (AB) se transforme par symétrie axiale d'axe (AB), la droite (AB) doit être fixe.

Toutefois, tu peux compléter la démonstration ainsi : si M appartient au segment [AB}, alors AM = MB, et par un raisonnement analogue à celui que tu as écrit, tu arrives à démontrer que f(M) = M.

Démonstration analogue si M est sur la droite en dehors du segment.

Cordialement,
--
Mateo.

Posté par
sgu35
re : Similitudes et f(A)=A, f(B)=B 27-06-21 à 10:45

Citation :
La démonstration suppose connue la liste des isométries existantes

Que veux-tu dire par là?
S'agirait-il des rotations, des translations et des symétries?

Posté par
matheuxmatou
re : Similitudes et f(A)=A, f(B)=B 27-06-21 à 10:54

bonjour

oui... et aussi l'identité et les symétries glissées

un théorème utile :

deux transformations du plan conservant le barycentre qui coïncident sur trois points non alignés sont égales.

Citation :
Considérons un point M n'appartenant pas à la droite (AB).
Soit M'=f(M).
Si M'=M, alors f admet trois points fixes non alignés, donc f est l'identité.
Si M' M, alors comme f est une isométrie, on a f(A)f(M)=AM donc AM'=AM.
De même BM'=BM.
On en déduit que A et B sont sur la médiatrice de [MM'], donc (AB) est la médiatrice de [MM'].


la démonstration peut s'arrêter ici car dans ce dernier cas, f et la réflexion d'axe (AB) coïncident sur trois points nin alignés, donc sont égales

Posté par
sgu35
re : Similitudes et f(A)=A, f(B)=B 27-06-21 à 10:57

Je me suis trompé là :

Citation :
On a s\circ f(As(A)=A


il faut lire : On a s\circ f(A)= s(A)=A

Posté par
sgu35
re : Similitudes et f(A)=A, f(B)=B 27-06-21 à 11:00

Il y a quelque chose qui m'embête aussi :

Citation :
On a f(A)f(B)=AB, on peut en déduire que le rapport de la similitude est 1

Pour qu'une similitude aie un rapport égal à 1, il faudrait montrer que pour tous points A et B, on a f(A)f(B)=AB. Or ici A et B sont des points particuliers...

Posté par
sgu35
re : Similitudes et f(A)=A, f(B)=B 27-06-21 à 11:01

Bonjour matheuxmatou, qu'est-ce qu'une symétrie glissée?

Posté par
matheuxmatou
re : Similitudes et f(A)=A, f(B)=B 27-06-21 à 11:02

une similitude garde le même rapport de dilatation sur tous les couples de points ... donc si il vaut 1 sur un couple particulier, il vaut 1 pour tous les autres !

on prend pour hypothèse qu'on cherche une similitude...

Posté par
matheuxmatou
re : Similitudes et f(A)=A, f(B)=B 27-06-21 à 11:03

sgu35 @ 27-06-2021 à 11:01

Bonjour matheuxmatou, qu'est-ce qu'une symétrie glissée?


composée d'une réflexion et d'une translation de vecteur colinéaire à l'axe de réflexion

Posté par
sgu35
re : Similitudes et f(A)=A, f(B)=B 27-06-21 à 11:09

Citation :
transformations du plan conservant le barycentre

Une transformation qui conserve le barycentre est par définition une similitude?

Posté par
sgu35
re : Similitudes et f(A)=A, f(B)=B 27-06-21 à 11:37

Citation :
si M appartient au segment [AB}, alors AM = MB

Comment montrer que AM=MB? On sait juste que AM'=AM et BM'=BM.

Posté par
matheuxmatou
re : Similitudes et f(A)=A, f(B)=B 28-06-21 à 17:04

une transformation conservant le barycentre (application affine) n'est pas nécessairement une similitude ... par exemple il y a aussi (entre autre) les projections, les symétries obliques, les affinités ... etc.

mais les similitudes sont des applications affines, donc conservent le barycentre

Posté par
sgu35
re : Similitudes et f(A)=A, f(B)=B 29-06-21 à 18:50

Comment montrer qu'une application affine conserve le barycentre?

Posté par
sgu35
re : Similitudes et f(A)=A, f(B)=B 29-06-21 à 18:50

et réciproquement;

Posté par
matheuxmatou
re : Similitudes et f(A)=A, f(B)=B 29-06-21 à 18:55

sgu35 @ 29-06-2021 à 18:50

Comment montrer qu'une application affine conserve le barycentre?


c'est la définition d'une application affine !

Posté par
sgu35
re : Similitudes et f(A)=A, f(B)=B 29-06-21 à 20:16

ok merci

Posté par
matheuxmatou
re : Similitudes et f(A)=A, f(B)=B 29-06-21 à 23:32

tout cela a l'air très confus pour toi !

ce serait bien que tu bosses vraiment un cours sur les transformations du plan car tes sujets disparates ne font pas vraiment avancer les choses. Cela reste brouillon et contreproductif !

Posté par
matheuxmatou
re : Similitudes et f(A)=A, f(B)=B 29-06-21 à 23:55

voir ici un cours sur les isométries du plan :

et pour les similitudes et les écritures complexes voir ici :



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