Bonjour,
je cherche à finaliser une démonstration :
Soient A et B deux points distincts. Si f est une similitude telle que f(A)=A et f(B)=B, alors f est l'application identique ou la symétrie axiale d'axe (AB).
Voici la démonstration donnée par ce site (xmaths) :
Soient A et B deux points distincts. Soit f une similitude telle que f(A)=A et f(B)=B.
On a f(A)f(B)=AB, on peut en déduire que le rapport de la similitude est 1. Donc f est une isométrie.
Considérons un point M n'appartenant pas à la droite (AB).
Soit M'=f(M).
Si M'=M, alors f admet trois points fixes non alignés, donc f est l'identité.
Si , alors comme f est une isométrie, on a f(A)f(M)=AM donc AM'=AM.
De même BM'=BM.
On en déduit que A et B sont sur la médiatrice de [MM'], donc (AB) est la médiatrice de [MM'].
Considérons s la symétrie axiale d'axe (AB).
On a et
de plus et puisque (AB) est la médiatrice de [MM'].
Donc est une similitude admettant trois points fixes non alignés, donc
donc donc donc f=s
f est donc la symétrie axiale d'axe (AB).
Voici mes questions :
D'une part, que veut dire fixes?
D'autre part, on ne dit pas que l'image de la droite (AB) est exactement (AB) car on considère un point M n'appartenant pas à la droite (AB).
Bonjour sgu35
point fixe veut dire ce que tu as écrit, et on dit aussi point invariant.
La démonstration suppose connue la liste des isométries existantes, donc si tout le plan sauf (AB) se transforme par symétrie axiale d'axe (AB), la droite (AB) doit être fixe.
Toutefois, tu peux compléter la démonstration ainsi : si M appartient au segment [AB}, alors AM = MB, et par un raisonnement analogue à celui que tu as écrit, tu arrives à démontrer que f(M) = M.
Démonstration analogue si M est sur la droite en dehors du segment.
Cordialement,
--
Mateo.
bonjour
oui... et aussi l'identité et les symétries glissées
un théorème utile :
deux transformations du plan conservant le barycentre qui coïncident sur trois points non alignés sont égales.
Il y a quelque chose qui m'embête aussi :
une similitude garde le même rapport de dilatation sur tous les couples de points ... donc si il vaut 1 sur un couple particulier, il vaut 1 pour tous les autres !
on prend pour hypothèse qu'on cherche une similitude...
une transformation conservant le barycentre (application affine) n'est pas nécessairement une similitude ... par exemple il y a aussi (entre autre) les projections, les symétries obliques, les affinités ... etc.
mais les similitudes sont des applications affines, donc conservent le barycentre
tout cela a l'air très confus pour toi !
ce serait bien que tu bosses vraiment un cours sur les transformations du plan car tes sujets disparates ne font pas vraiment avancer les choses. Cela reste brouillon et contreproductif !
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