Bonjour et merci pour cet exercice.

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On part du parallélogramme ABA'B' dont O est le centre des diagonales.
On voit ensuite que les triangles AB'P  et A'BQ  sont donc non
seulement semblables mais identiques (bases  AB'= A'B)
Donc  leurs sommets P et Q  sont aussi symétriques par rapport au centre O du parallélogramme .

Bonjour

une figure pour clarifier les choses



les triangles OAB et OA'B' sont semblables (pas égaux !) par définition (similitude directe de centre O qui transforme A, B en A', B' )

ils sont aussi semblables à PAB' et à QA'B par construction des points P et Q

je m'abstiens d'en dire plus vu que la solution (ou presque) à été donnée dans l'autre fil.

En regardant la réponse de mathafou, j'ai vu que j'avais pris O comme centre de symétrie et non de  similitude

Bonjour,
En complément de la figure de mathafou, voici une configuration qu'on peut trouver dans le Lebossé & Hémery et qui permet d'obtenir une solution au problème :

On considère un triangle et un point donné . On construit les triangles et directement semblables au triangle .
Conclusion : est un parallélogramme.

C'est cette configuration que j'ai utilisée (deux fois).
Mais rien n'empêche de chercher (et trouver) une autre solution

Une solution en blanqué (qu'on n'est pas forcé de consulter )

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Les triangles et sont directement semblables au triangle par construction.
Le triangle est directement semblable au triangle (similitude directe de centre qui envoie sur et sur ).
On construit le triangle directement semblable aux 4 triangles précédents.

Les triangles  , et sont dans la configuration citée plus haut. On en déduit que le quadrilatère est un parallélogramme.

Les triangles , et sont aussi dans cette configuration. On en déduit que le quadrilatère est un parallélogramme.

D'où

Bonjour à tous,

  

Bonsoir,
Il me semble qu'on peut se passer du point C.

En utilisant,comme dans le grimoire, deux similitudes :
La similitude f de centre B', de rapport AB/OB et d'angle .
La similitude g de centre B, de rapport OB/AB et d'angle .

Un bon cours sur les similitudes permet de trouver la nature très simple de gof.

Bonsoir Sylvieg et

et *
  (similitude de rapport 1 et d'angle nul) est la translation de vecteur (par exemple)
J'ai cherché quelque chose dans ce genre là (sans trouver!)

Je reformule avec une figure, sans trop détailler :

Utiliser deux similitudes définies avec les 5 points du départ :
Celle de centre B qui transforme O en A.
Celle de centre B' qui transforme A' en O.

Bonjour,
Du coup et grâce à toi, j'en ai une autre (moins jolie que la tienne) :

similitude directe de centre qui transforme en

similitude directe de centre qui transforme en

similitude directe de centre qui transforme en

On considère (de rapport et d'angle )

Et de point invariant O

_{Détail indispensable !}