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similitudes et linéarisation

Posté par
Samfanof 24-09-08 à 15:38

bonjour


j'ai un probleme avec un exercice.

Soient les nombres complexes z1= (1/2) +i (1/2), z2= (3/2)-i(1/2) et z3= -i

1) déterminer une similitude directe telle que f(z1)=e^i7/12 et f(z3) = z2. donner le centre, le rapport et l'angle de cette similitude

2) dire s'il s'agit d'un racine n-ième de l'unité.si oui, préciser pour quelles valeurs de n. justifier réponse dans tous les cas.

3) linéariser (cos x)^5

cependant je n'ai pas abordé les similitudes au lycée (qui font partie des spécialités maths). j'ai quand même tenté de résoudre la première question en m'appuyant sur des cours trouvés. ce qui me donne, en m'appuyant sur les formes trigonométriques des nombres complexes:


1) une similitude f telle que f et z' = az + b et f(z3)=z3' et f(z5)=z4

soit:

cos 7/12 +isin 7/12= a(cos/4 + isin /4)+ b

cos /6 +isin /6 = a(cos -/2 -isin/2)+b


j'ai voulu ensuite continuer le système pour obtenir a, et pouvoir obtenir b, mais je me suis emmelé les pinceaux, et je n'arrive a rien du tout.


3) lineariser (cosx)^5

je ne sais pas comment faire; j'ai essayé avec euler mais je ne tombe pas sur des valeurs correctes; vu que je linéarise, je devrais tjs avoir des expressions de cosinus du premier degré. or ce n'est pas le cas. j'ai enté de faire cosx² * cosx² * cos x ou cosx² = (1+cos2x/2), mais là encore je bloque.

s'il vous plait aidez moi, j'y ai passé l'après midi et je n'en peux plus.

Posté par
scrogneugneure : similitudes et linéarisation 24-09-08 à 15:46

Salut !

C'est de la forme f(z)=az+b avec a et b des complexes à déterminer.

Ici, pour les trouver, il faut résoudre f(z_1)=... et f(z_3)=z_2

Ensuite, les racines nième de l'unité sont de la forme z_k=exp{2ik\frac{\pi}{n}} avec 0\le k\le n-1

Pour la linéarisation, écris que cos^5(x)=\(\frac{exp{ix}+exp{-ix}}{2}\)^5 ou alors utilise les formules de trigo ^^

Posté par
boostbasketre : similitude et linéarisation 24-09-08 à 15:53

Bonjour

Au niveau de la question 3 : Passe par Euler : cos x = (exp(ix)+exp(-ix))/2
(cos x)^5 = (exp(ix)+exp(-ix))^5/32=1/32(exp(5ix)+5exp(3ix)+10exp(ix)+10exp(-ix)+5exp(-3ix)+exp(5ix))
=1/16(cos 5x + 5cos 3x + 10 cos x)

Posté par
Samfanofre:similitudes et linéarisation 24-09-08 à 16:25

merci pour la question 3, j'avais oublié une partie du calcul

cependant pour la première question:

Citation :
Ici, pour les trouver, il faut résoudre f(z_1)=... et f(z_3)=z_2


c'est ce que j'ai tenté, mais je bloque, je ne comprends pas pourquoi.

merci pour la racine n-ième, j'ai compris.

mais s'il vous plait, de l'aide pour la question 1 !!!:(:(

Posté par
Samfanofracine n-ième 27-09-08 à 15:28

bonjour

pouvez vous m'expliquer comment résoudre ce probleme? le professeur l'a résolu en cours, cependant, je n'y ai pas compris grand chose :(... aidez moi s'il vous plait


soit z1= (1/2) + i(1/2)
z2= (3/2)-i(1/2) et z3= -i

pour hacun des nombres complexes, dire s'il c'est une racine n-ième de l'unité.Si c'est le cas, préciser pour quelle valeur de n.

*** message déplacé ***

édit Océane : merci de ne pas poster ton exercice dans des topics différents, les rappels sont pourtant bien visibles.
En postant un petit message dans ton topic, il remonte automatiquement parmi les premiers.

Posté par
Camélia Correcteurre : racine n-ième 27-09-08 à 15:33

Bonjour

Au moins pour z3 c'est évident que (z3)2=1

Pour les autres il faut les écrire sous forme trigonométrique.

Par exemple, z_1=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\ \frac{\sqrt{2}}{2}=\cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4). Que vaut (z1)8?

*** message déplacé ***

Posté par
Samfanofre:racine n-ième 27-09-08 à 20:26

désolé d'insister, je ne dois pas avoir l'air fin mais vraiment, je ne comprends pas. il faudrait m'expliquer vraiment le fonctionnement des racines n-ièmes. c'est LE point du cours sur lequel je butte, et il faut absolument que je le comprenne. s'il vous plait, expliquez moi...

*** message déplacé ***

Posté par
apaugamre : racine n-ième 27-09-08 à 21:13

déjà tu peux les dessiner pour te familiariser avec

il suffit de decouper le gateau disque unité en n morceaux
un bon dessin permet de bien voir les relations qu'il y a entre les racines.
chaque racine neme est de le forme
z_k=\cos(2k\pi/n)+i\sin(2k\pi/n) \\
ce sont les puissances de la "premiere" z_1
1, z_1, z_2=z_1^2,... z_{n-1}=z_1^{n-1}

Comme  z_1^{n}=1 tous les z_k^{n}=1

*** message déplacé ***

Posté par
Samfanofre:similitudes et linearisation 27-09-08 à 23:30

désolé pour le multipost, je ne retrouvais plus le topic merci pour l'explication, c'est plus facile a voir comme ça.

bonne soirée (et promis je ne referais plus cette betise)


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