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Similitudes planes
Bonjour,
j'ai un exercice sur les similitudes planes, et n'étant pas très fort en spécialité Maths, j'aurais besoin de votre aide pour cet exercice ^^ Voici l'énoncé :
On donne, dans le plan complexe, les 4 points A, B, C et D d'affixes respectives ZA= -2 + 6i, ZB= 1 - 3i, ZC= 5 + 5i, ZD= 2 + 4i.
A) Déterminer l'écriture complexe de la similitude S qui transforme C et D respectivement en A et B.
B) On considère la similitude S' définie par : Z'= 2iz + 13 + i
Montrez que la composée S'°S est une homothétie H donc on précisera le rapport.
Quel est le transformé de C par H ?
C) Montrer que la transformation R définie par z
iz + 2 + 4i est une rotation dont on précisera le centre et l'angle.
Quel est le transformé de B dans cette rotation ?
D) Montrer, sans calcul, que la transformation R°H admet le point C pour point invariant.
Merci d'avance pour votre aide !
bonjour
soit s la similitude qui transforme C en D et A en B et soit z'=pz+q son expression où p et q sont deux complexes à déterminer.
s(C)=D donc 2+4i=p(5+5i)+q
s(A)=B donc 1-3i=p(-2+6i)+q
donc
(2+4i)-(1-3i)=p(5+5i+2-6i) donc p=(1+7i)/(7-i)=(1+7i)/(-i)(1+7i)=i donc q=2+4i-i(5+5i)=2+4i-5i+5=7-i
donc z'=iz+7-i
donc s est la rotation d'angle Pi/2 et de centre W d'affixe w=(7-i)/(1-i)=(7-i)(1+i)/2=(7+1+6i)/2=4+3i
B)S' : z'=2iz+13+i
soit z' l'affixe de M' image de M d'affixe z par S
z" l'affixe de M" image de M' d'affixe z' par S'
alors
z"=2iz'+13+i
=2i(iz+7-i)+13+i
=-2z+14i+2+13+i
=-2z+15+15i
donc S'oS est l'homothétie de rapport -2 et de centre W' d'affixe w'=(15+15i)/(1+2)=5+Ri=Zc
donc H(C)=C
C) R(z)=iz+2+4i est une rotation car |i|=1
son angle est Pi/2 et son centre est le point d'affixe (2+4i)/(1-i)=(2+4i)(1+i)/2=(2+2i+4i-4)/2=-1+3i=ZB
donc R(B)=B
C est le centre de H donc H(C)=C
donc RoH(C)=R(H(C))
=R(C)
il y a peut être un problème d'énoncé!
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