Je rectifie ma dernière ligne :

*Or le corrigé fait 2^n et non pas -2^n. Du coup quel est la bonne façon de faire ? Le corrigé met en résultat un 2 car le reste doit obligatoirement être >= 0 ? Mes réponses sont-elles bonnes ?

je crois que ce qui te gêne est le passage de (- 2) ¹⁹ à - 2 ¹⁹
Cela vient du fait que 19 est impair donc (- 1) ¹⁹ = - 1 or (- 2) ¹⁹ = (- 1) ¹⁹ 2 ¹⁹ donc (- 2) ¹⁹ = - 2 ¹⁹
Au lieu de s'intéresser à (- 2) ¹⁹ il suffit donc de s'intéresser à - 2 ¹⁹ qui est plus simple
2 ¹⁹ = 2 ¹⁰ 2 ⁹
or 2 ¹⁰ 1 modulo 11
donc 2 ¹⁹ 2 ⁹ modulo 11
2 ⁹ 6 modulo 11 donc
2 ¹⁹ 6 modulo 11 donc
- 2 ⁹ - 6 modulo 11 donc
or - 6 = 5 - 11 donc - 6 5 modulo 11
donc - 2 ⁹ 5 modulo 11
donc (- 2) ⁹ 5 modulo 11

En faite je vois pas dans ce que je fais, ce qui ne va pas.

Normalement, je ferais cela :
- 2^1 = -2 9 [11]
- 2^2 = -2^1 * -2 -7 [11], or -7 4 [11], donc -2^2 4 [11]
- 2^3 = -2^2  * -2 3 [11]
- 2^4 = -2^3 * -2   5 [11]
- 2^5 = -2^4 * -2   1 [11]


Déjà, dans la deuxième ligne, si je calculerais les puissances normalement, la carré est toujours positif. Donc j'ai déjà un petit soucis là dessus.

Raa fichu arithmétique !

Au final, j'utilise la remarque : Le signe des entiers n'influent pas dans la relation de divisibilité. Du coup je considère -2 comme 2 lorsque je fais les divisions  successives.

Ton problème provient d'une mauvaise utilisation des parenthèses : -2 ² = - 4 et (- 2) ² = 4
donc tout ce que tu a écrit précédemment aurait été correct si tu avais mis des parenthèses