Bonjour, wolwi01

On peut seulement en déduire que A est trigonalisable.

Bonsoir,
Bien sur que non.
Regarde la matric de taille 2, qui n'a que des 1 sur la diagonale et 1 comme coeff de 1ere ligne de deuxieme colonne.

Je demande ça parce que j'ai un exo qui traite d'une matrice triangulaire supérieure et on me demande si elle est diagonalisable. Je voulais donc savoir si sa propriété induisait la diagonalisation. Le seul moyen est donc calcul du polynôme caractéristiques sauf que c'est dans la question d'après ou on me demande valeur propre et espaces propres.
Existe-t-il donc un moyen sachant au passage que ma matrice possède un colonne de zéros?

en ligne 0,-1,0,0/0,-4,0,0/0,0,-6,3/0,0,0,-6

Donc, A n'est pas diagonalisable.
Avant de donner une solution qui permet d'éviter le calcul des sous-espaces propres, j'ai besoin de savoir quel est ton niveau.

le problème est qu'après on me demande espaces propres et valeurs propres.
Mais bon je suis en spé SI

Non en fait il y a pas de problème, je confond le fait qu'une matrice possède des espaces propres et est diagonalisables.

Voici une solution

Les valeurs propres de A sont  0,-4 et -6.
A est diagonalisable si et seulement si A annule le polynôme   X(X+4)(X+6), donc si et seulement si A(A+4I)(A+6I)=0
Dans cette solution, on n'a pas calculé les sous-espaces propres.

On peut aussi remarquer que si A était diagonalisable, sa restriction à un sous-espace stable est diagonalisable.  Or, précisément, Vect(e_3,e_4) et la matrice de la restriction à A vaut

Et il est simple de montrer que B n'est pas diagonalisable, avec les mêmes idées que pour A, mais des calculs beaucoup plus rapides.

juste un dernière question si je me trouve face à une matrice dont je sais qu'elle est diagonalisable, et que l'une de ses valeurs propres possède une multiplicité de 2 dans un espace de dimension 3 par exemple. De quelle forme sera l'espace propre attaché à cette racine double?

Le sous-espace propre sera de dimension 2.

mais se sera un vecteur colonne dont 2 des 3 coordonnées seront indépendantes?

Une base de ce sous-espace propre sera composée de deux vecteurs-colonnes indépendants.

oui mais quand on cherche l'espace propre attaché à la valeur 2 par exemple, on résout AX=2X avec X un vecteur colonne (a,b,c,d), je ne voit pas comment va intervenir le deuxième vecteur colonne.

Supposons qu'on trouve que l'équation AX=2X est équivalente à   x+y+z=0

X est un vecteur propre associé à 2 si et seulement si:

On en déduit une base du sous-espace propre.

donc on part d'un seul vecteur colonne puis lorsqu'on détermine l'ensemble de solution, on scinde si c'est possible ce vecteur en combinaison linaire de vecteur appartenant à une famille libre.
Merci pour ton aide.
Cordialement.

Il y a une chose qui me pose problème :

tu as dit que "Les valeurs propres de A sont  0,-4 et -6.
A est diagonalisable si et seulement si A annule le polynôme   X(X+4)(X+6), donc si et seulement si A(A+4I)(A+6I)=0
Dans cette solution, on n'a pas calculé les sous-espaces propres.
mais pour quelles raisons as-tu simplifié le polynôme il devrait être X(X+4)(X+6)(X+6) ce qui ferait que A annule le polynôme.

quelqu'un a une idée?

Une idée?

C'est un résultat qui est au programme de PSI:

Un endomorphisme u est diagonalisable si et seulement si il annule le produit des X-, décrivant l'ensemble des valeurs propres de u (elles ne sont pas comptées avec leur ordre de multiplicité