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Simplification complexes

Posté par
iFeaRz72 01-02-18 à 11:46

Bonjour,

J'aimerai savoir il est possible d'écrire :

(1+j)^{n} + (1+j^{2})^{n} = 2 cos\frac{n\pi}{3}

Ou encore :

j^{2}(1+j)^{n} + j (1+j^{2})^{n} = 2 cos\frac{(n-2)\pi}{3}

Ou :

j(1+j)^{n} + j^{2} (1+j^{2})^{n} = - 2 cos\frac{(n-1)\pi}{3}

Avec j = e^{2i\frac{\pi}{3}}

Merci de votre aide

Posté par
carpediemre : Simplification complexes 01-02-18 à 11:53

salut

j^2 = \bar j  donc (1 + j)^n + (1 + j^2)^n = (1 + j)^n + (1 + \bar j)^n

Posté par
iFeaRz72re : Simplification complexes 01-02-18 à 12:15

Pourquoi j^2 = \bar j ?

Et si on appelle z = (1+j)

alors on a : (1+j)^{n} + (1+\bar j)^{n} = z^{n} + \bar z ^{n} = 2 cos (n\theta)

avec \theta = \frac{\pi}{3} mais pourquoi ?

Je t'avouerais que je suis un peu perdu

Posté par
carpediemre : Simplification complexes 01-02-18 à 12:27

un peu de sérieux !!

qui est j ? son carré ? son conjugué ?

Posté par
iFeaRz72re : Simplification complexes 01-02-18 à 13:21

Non oui pardon je viens de voir pourquoi j^{2} = \bar j.

Mais ensuite : (1+j)^{n} + (1+\bar j)^{n} = [j(\bar j + 1)]^{n} + [\bar j (j+1)]^{n} pour utiliser les formules d'Euler mais ensuite ?

Posté par
coa347re : Simplification complexes 01-02-18 à 14:50

Bonjour,

On a :  1+j+j^2=0. Donc 1+j=? et 1+j^2=?.

Posté par
iFeaRz72re : Simplification complexes 01-02-18 à 21:35

Oui d'accord mais je ne vois pas comment on peut arriver au résultat voulu :/

Posté par
larrechre : Simplification complexes 01-02-18 à 21:59

Bonjour,

Comme on dit, il faut mettre un peu les mains dans le cambouis...

(1+j)^{n} + (1+j^{2})^{n}= (-1)^n(j^{2n}+j^n)= (-1)^n(exp(\dfrac{4in\pi}{3})+exp(\dfrac{2in\pi}{3}))=(-1)^n(exp(in\pi)exp(\dfrac{in\pi}{3})+exp(in\pi)exp(-\dfrac{in\pi}{3}))

etc.

Posté par
lakere : Simplification complexes 01-02-18 à 22:43

Bonjour,

On peut faire un peu plus simple avec -j^2=e^{\frac{i\pi}{3}}:

(1+j)^n+(1+j^2)^n=(1+j)^n+\overline{(1+j)^n}=2\Re [(1+j)^n]=2\Re[(-j^2)^n]=2\Re\left(e^{\frac{in\pi}{3}}\right)

Posté par
iFeaRz72re : Simplification complexes 02-02-18 à 12:46

Merci beaucoup !!


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