Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup TrigonométrieTopics traitant de trigonométrie [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Simplification de formule trigonométrique

Posté par
cerveaulogik 28-04-18 à 17:36

Bonjour,
Il y a un exercice sur lequel je peine, et c'est le suivant :
\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}cos(kx) où x est un réel fixé.
Il faut simplifier cette expression en utilisant toutes la formule du binôme, celle de Moivre et toutes les formules démontrables à partir de l'exponentielle complexe.
J'explique ma démarche et où je bloque.
On a
\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}cos(kx) =\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}Re((cos x + i sin x)^{n}) \\ =\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}Re(\sum^{k}_{j=0}i^{j} cos^{k-j}x sin^{j} x) \\ =\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k} \sum^{E(k/2)}_{j=0}(-1)^{j}cos^{n-2j}sin^{2j} \\
où E(k/2) désigne la partie entière de k/2.
Je n'arrive pas à simplifier plus. Pourtant, mon intuition me dit que la formule du binôme pourrait simplifier encore plus. Mais comment ?
Merci d'avance à ceux qui voudront bien m'aider.

Posté par
etniopalre : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 18:04

\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}cos(kx)  est la partie réelle de \sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}exp(ikx)  
Et binôme !

Posté par
cerveaulogikre : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 18:19

Ca ne m'aide pas beaucoup...

Posté par
matheuxmatoure : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 18:23

Bonjour

\Sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}\left(exp(ix)\right)^k est le développement de ...?

Posté par
cerveaulogikre : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 18:33

AHHHHHHH OK !!!!!

(1+e^{ix})^{n}.

Mais oui !!!

Posté par
cerveaulogikre : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 18:33

Merci beaucoup !

Posté par
matheuxmatoure : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 18:35

voilà
et tu en prends la partie réelle
mets le sous forme trigo avant

Posté par
cerveaulogikre : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 18:39

Du coup, on obtient au final
\sum_{k=0}^{E(n/2)}(1+cos^{x})^{n-2k}(-1)^{k}sin^{2k}
?

Posté par
matheuxmatoure : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 18:42



mets déjà (1+eix) sous forme trigo ... ou pseudo-trigo  !

puis élève le à la puissance n

puis prends la partie réelle

Posté par
cerveaulogikre : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 18:51

(1+e^{ix})^{n}=((cos x +1)+i sin x)^{n}=\sum_{k=0}^{n}(cos x +1)^{n-k} (i sin x)^{k}
La partie réelle est quand k est multiple de 2. Du coup on obtient ce que j'ai écrit plus haut.

Posté par
matheuxmatoure : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 18:53

ce qui n'apporte rien et ne réponds pas à la question !
tu lis mes conseils ????

Posté par
cerveaulogikre : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 18:59

Bah oui j'ai juste appliqué ces derniers.

Posté par
matheuxmatoure : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 18:59

mets \large e^{\frac{ix}{2}} en facteur dans (1+eix)

Posté par
matheuxmatoure : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 19:09

bon alors ???

Posté par
cerveaulogikre : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 19:19

On a
(1+e^{ix})=e^{ix/2} 2 cos x
Peut-on simplifier à partir de là ?

Posté par
matheuxmatoure : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 19:20

bon bref ...

tu devrais trouver que la somme que tu veux calculer vaut quelque chose comme :

\normalsize 2^n cos^n(\frac{x}{2}) cos(\frac{nx}{2})

Posté par
matheuxmatoure : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 19:21

cerveaulogik @ 28-04-2018 à 19:19

On a
(1+e^{ix})=e^{ix/2} 2 cos x
Peut-on simplifier à partir de là ?


oui ben élève à la puissance n et prends la partie réelle !


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1768 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !