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Simplification de formule trigonométrique

Posté par
cerveaulogik 28-04-18 à 17:36

Bonjour,
Il y a un exercice sur lequel je peine, et c'est le suivant :
\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}cos(kx) où x est un réel fixé.
Il faut simplifier cette expression en utilisant toutes la formule du binôme, celle de Moivre et toutes les formules démontrables à partir de l'exponentielle complexe.
J'explique ma démarche et où je bloque.
On a
\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}cos(kx) =\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}Re((cos x + i sin x)^{n}) \\ =\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}Re(\sum^{k}_{j=0}i^{j} cos^{k-j}x sin^{j} x) \\ =\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k} \sum^{E(k/2)}_{j=0}(-1)^{j}cos^{n-2j}sin^{2j} \\
où E(k/2) désigne la partie entière de k/2.
Je n'arrive pas à simplifier plus. Pourtant, mon intuition me dit que la formule du binôme pourrait simplifier encore plus. Mais comment ?
Merci d'avance à ceux qui voudront bien m'aider.

Posté par
etniopalre : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 18:04

\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}cos(kx)  est la partie réelle de \sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}exp(ikx)  
Et binôme !

Posté par
cerveaulogikre : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 18:19

Ca ne m'aide pas beaucoup...

Posté par
matheuxmatoure : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 18:23

Bonjour

\Sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}\left(exp(ix)\right)^k est le développement de ...?

Posté par
cerveaulogikre : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 18:33

AHHHHHHH OK !!!!!

(1+e^{ix})^{n}.

Mais oui !!!

Posté par
cerveaulogikre : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 18:33

Merci beaucoup !

Posté par
matheuxmatoure : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 18:35

voilà
et tu en prends la partie réelle
mets le sous forme trigo avant

Posté par
cerveaulogikre : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 18:39

Du coup, on obtient au final
\sum_{k=0}^{E(n/2)}(1+cos^{x})^{n-2k}(-1)^{k}sin^{2k}
?

Posté par
matheuxmatoure : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 18:42



mets déjà (1+eix) sous forme trigo ... ou pseudo-trigo  !

puis élève le à la puissance n

puis prends la partie réelle

Posté par
cerveaulogikre : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 18:51

(1+e^{ix})^{n}=((cos x +1)+i sin x)^{n}=\sum_{k=0}^{n}(cos x +1)^{n-k} (i sin x)^{k}
La partie réelle est quand k est multiple de 2. Du coup on obtient ce que j'ai écrit plus haut.

Posté par
matheuxmatoure : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 18:53

ce qui n'apporte rien et ne réponds pas à la question !
tu lis mes conseils ????

Posté par
cerveaulogikre : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 18:59

Bah oui j'ai juste appliqué ces derniers.

Posté par
matheuxmatoure : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 18:59

mets \large e^{\frac{ix}{2}} en facteur dans (1+eix)

Posté par
matheuxmatoure : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 19:09

bon alors ???

Posté par
cerveaulogikre : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 19:19

On a
(1+e^{ix})=e^{ix/2} 2 cos x
Peut-on simplifier à partir de là ?

Posté par
matheuxmatoure : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 19:20

bon bref ...

tu devrais trouver que la somme que tu veux calculer vaut quelque chose comme :

\normalsize 2^n cos^n(\frac{x}{2}) cos(\frac{nx}{2})

Posté par
matheuxmatoure : Simplification de formule trigonométrique 28-04-18 à 19:21

cerveaulogik @ 28-04-2018 à 19:19

On a
(1+e^{ix})=e^{ix/2} 2 cos x
Peut-on simplifier à partir de là ?


oui ben élève à la puissance n et prends la partie réelle !


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