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simplification dune somme (sigma)

Posté par
abdalnour 14-10-07 à 12:08

je dois simplifier l'expression suivante:
n    (n)
=( )cos(x+k)
k=0 (k)
d'habitude c'est du cos(nx) ou du cos(x)^n mais la...quand je veux prendre la partie réelle du nombre complexe je me retrouve bloqué...
Merci d'avance à tous

Posté par
gui_toure : simplification dune somme (sigma) 14-10-07 à 12:16

Salut

C'est bien 3$\rm S=\Bigsum_{k=0}^{n} {n\choose k} \cos(x+k\theta) ?

Si oui, alors 3$\rm S=\Re\Big[\Bigsum_{k=0}^{n} {n\choose k} e^{i(x+k\theta)}\Big]

En sortant e^x, reconnais la formule du binôme

Posté par
gui_toure : simplification dune somme (sigma) 14-10-07 à 14:05

Ensuite, on a

3$\rm%20S=\Re\Big[e^{ix}\Bigsum_{k=0}^{n}%20{n\choose%20k}%20{(e^{i\theta})}^k\Big]

Posté par
abdalnourre : simplification dune somme (sigma) 14-10-07 à 14:33

ok ok merci beaucoup donc cela fait;
Re((1+exp(i))n)  ???
peut on encore le simplifier?
merci beaucoup en tout cas

Posté par
gui_toure : simplification dune somme (sigma) 14-10-07 à 14:46

Oui car on a

5$\rm%20S=\Re\Big[e^{ix}\Bigsum_{k=0}^{n}%20{n\choose%20k}%20{(e^{i\theta})}^k\Big] \\ \\ \\S=\Re\Big[e^{ix}{(1+e^{i\theta})^n}\Big]

Là on peut utiliser la formule où intervient l'arc moitié :

4$\rm {(1+e^{i\theta})}=2\cos(\frac{\theta}{2})e^{i\frac{\theta}{2}}

En mettant à la puissance n :

4$\rm {(1+e^{i\theta})}^n=2^n\cos^n(\frac{\theta}{2})e^{i\frac{n\theta}{2}}

Quand on multiplie par e^{ix}, ça devient :

4$\rm e^{ix}{(1+e^{i\theta})}^n=2^n\cos^n(\frac{\theta}{2})e^{i(\frac{n\theta}{2}+x)}

en prenant la partie réelle de cette expression, on a :

5$ \red \fbox{\rm%20S=\Bigsum_{k=0}^{n}%20{n\choose%20k}%20\cos(x+k\theta)=2^n\cos^n(\frac{\theta}{2})\cos\big(\frac{n\theta}{2}+x\big)

Voilà

Posté par
gui_toure : simplification dune somme (sigma) 14-10-07 à 14:48

Ca c'est un type d'exo que j'aime bien, ça fait intervenir pas mal de trucs

Posté par
gui_toure : simplification dune somme (sigma) 14-10-07 à 14:50

Si tu ne comprends pas trop l'histoire de l'arc moitié, mets e^{i\frac{\theta}{2}} en facteur dans 1+e^{i\theta}

En te servant des formules d'Euler, tu tombes sur ce qu'il faut

Posté par
abdalnourre : simplification dune somme (sigma) 14-10-07 à 15:19

aaaaaa jm trop quand ça fait ça....
j'ai parcouru ta réponse j'ai vu arc moitié
hop j'ai tout fait tout seul et j'ai retrouvé ton résultat
même si notre prof appelle sa:la demi somme des arguments....
MERCI BEAUCOUP

Posté par
gui_toure : simplification dune somme (sigma) 14-10-07 à 15:19

Y a pas de quoi


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