Forum Expresso

simplification par radicaux

Posté par amethyste 13-01-15 à 17:24

salut un truc qui date un peu

Soit $\mathcal {A}$ est l'ensemble de tous les triplets $(a,b,c)\in \mathbb {N}^3$ tels que:

$\sqrt {c}\notin \mathbb {N}$

$\sqrt {a+b\sqrt {c}}\notin \mathbb {N}$

$\sqrt {a-b\sqrt {c}}\notin \mathbb {N}$

$\sqrt {a+b\sqrt {c}}+\sqrt {a-b\sqrt {c}}\in \mathbb {N}$

Déterminer $A\subset \mathcal {A}$ avec $Card A=\aleph_0$

si tous les éléments $(a,b,c)$ de $A$ ne sont pas tous les éléments de $\mathcal {A}$ au moins on en définit une infinité avec l'ensemble $A$

convention de notation

$\begin {bmatrix} x \end {bmatrix}$ désigne la partie entière de x

$\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix}$ désigne la partie fractionnaire de x

construction de $A$

on pose deux suites infinies $(u_n)$ et $(w_n)$

en ce qui concerne la suite $(w_n)$

selon $w_0=6$ , $w_1=35$ , $w_2=1189$ et pour $\forall j\geq 3$ alors $\begin {bmatrix}\frac {w_{j-1}^2}{w_{j-2}} \end {bmatrix}-1\leq w_j \leq \begin {bmatrix}\frac {w_{j-1}^2}{w_{j-2}} \end {bmatrix}+1$ et tel que $\sqrt {8w_j^2+1}$ est un entier naturel impair

et en ce qui concerne la suite $(u_n)$

selon $u_0=w_j$ avec   $\forall j\in  \mathbb {N}$

et pour   $\forall i\in  \mathbb {N}^*$ alors on pose $u_i=\sqrt {\frac {(16u_{i-1}^2+1)^2-1}{8}}$

___________________________________________________________________

alors $(a,b,c)\in A$ avec $a=b^2$ , $c=b^2-1$ et $b=\frac {\sqrt {8u_i^2+1}-1}{2}$

et on verifie $\sqrt {a+b\sqrt {c}}+\sqrt {a-b\sqrt {c}}=2u_i\in \mathbb {N}$ avec $\forall i\in \mathbb {N}$ et $0 <\begin {Bmatrix} \sqrt {a-b\sqrt {c}} \end {Bmatrix}< 1$

__EXEMPLES__________________________________________________________

$a=64$ , $b=8$ , $c=63$ , $\sqrt {a+b\sqrt {c}}+\sqrt {a-b\sqrt {c}}=12$

$a=2401$ , $b=49$ , $c=2400$ , $\sqrt {a+b\sqrt {c}}+\sqrt {a-b\sqrt {c}}=70$

$a=82944$ , $b=288$ , $c=82943$ , $\sqrt {a+b\sqrt {c}}+\sqrt {a-b\sqrt {c}}=408$

$a=2825761$ , $b=1681$ , $c=2825760$ , $\sqrt {a+b\sqrt {c}}+\sqrt {a-b\sqrt {c}}=2378$

$a=96040000$ , $b=9800$ , $c=96039999$ , $\sqrt {a+b\sqrt {c}}+\sqrt {a-b\sqrt {c}}= 13860$

$a=3262808641$ , $b=57121$ , $c=3262808640$ , $\sqrt {a+b\sqrt {c}}+\sqrt {a-b\sqrt {c}}= 80782$

...

Posté par re : simplification par radicaux 14-01-15 à 11:47

Bonjour,

J'avais un peu travaillé sur ces itérations 'entières';il faudra que je retrouve mes brouillons.

La génération de telles égalités n'est pas trop difficile;un exemple p,q,r entiers positifs :
$\sqrt{(p+r\sqrt{q})^2}+\sqrt{(p-r\sqrt{q})^2}=2p$

Et $a=p^2+r^2q,b=2pr ,c=q$

Nota:
J'élève au carré ,une condition à ajouter sur {p,q,r}

Alain

Posté par re : simplification par radicaux 14-01-15 à 12:31

c'est parfait Alain Paul

donc là c'est le cas où chacune des deux racines carrées donne un entier camarade

Posté par re : simplification par radicaux 14-01-15 à 13:56

Bon,

Un exemple {6,3,2}
$\sqrt{48+24\sqrt{3}}+\sqrt{48-24\sqrt{3}}=2\times 6=12$

Alain

Posté par re : simplification par radicaux 14-01-15 à 14:14

oui effectivement!!

ça complète l'ensemble !!

Posté par re : simplification par radicaux 14-01-15 à 18:31

Bonsoir,

Cela peut aussi marcher avec d'autres puissances
ou un mixte d'icelles,

Alain

Posté par re : simplification par radicaux 15-01-15 à 07:08

bonjour

merci Paul

tu très franchement je vois pas d'autres possibilités en dehors de ce que tu donne

Citation :
il faudra que je retrouve mes brouillons.

oui des fois c'est embêtant de pas garder certains trucs ...

on pense que ça servira pas et puis un jour on regrette ceci dit là tu a bien restitué l'idée de base de memoire

Posté par re : simplification par radicaux 15-01-15 à 14:29

Bonjour,

D'autres possibilités:
$\sqrt[3]{(7+\sqrt{5})^3}+\sqrt[3]{(7-\sqrt{5})^3}=14$
Je te laisses développer sous les radicaux.

On peut rechercher des fonctions aux itérées 'bien propres',exemple:
$f(x)=x+3+2\sqrt{3x+6}$
toutes les itérées s'écrivent : $f^{[n]}(x)=ax+b+c\sqrt{3x+6}$
a,b,c entiers.
et donc si tu souhaites que 3x+6 soit un carré ,le germe x₀=1
donnera bien une suite de carrés,

Alain