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simplifier

Posté par
foxp2
16-06-19 à 11:09

Bonjour,
J'espère être sur le bon forum pour savoir comment simplifier cette expression :
\sqrt{1+\sqrt{4+\sqrt{ 16+\sqrt{64+\cdots}}}}
---------
Soit:
\left\{\begin{matrix}
 \\ U_{0}=0\\ 
 \\ U_{n+1}=\sqrt{2^{2n}+U_{n}}\\
 \\ n\epsilon \mathbb{N}
 \\ \end{matrix}\right.

Cette suite ne convient pas car elle inverse les termes ,par exemple :
U_{3}=\sqrt{16+\sqrt{4+\sqrt{2+\sqrt{1}}}}
------

Posté par
foxp2
re : simplifier 16-06-19 à 11:12

rectification:
U_{3}=\sqrt{64+\sqrt{16+\sqrt{4+\sqrt{1}}}}

Posté par
carpediem
re : simplifier 16-06-19 à 12:22

salut

que veut dire simplifier cette expression

notons x ce nombre

vérifie que x^2 - 1 = 2x

Posté par
foxp2
re : simplifier 16-06-19 à 14:53

Salut carpdiem
Si :
x=\sqrt{1+\sqrt{4+\sqrt{ 16+\sqrt{64+\cdots}}}}
alors  "x² - 1 = 2x"  donne :
[tex\]sqrt{4+\sqrt{16+\sqrt{ 64+\sqrt{256+\cdots}}}}=2\sqrt{1+\sqrt{4+\sqrt{ 16+\sqrt{64+\cdots}}}}[/tex]
comment vérifie cette égalité

Posté par
foxp2
re : simplifier 16-06-19 à 14:54

alors  "x² - 1 = 2x" donne :
\sqrt{4+\sqrt{16+\sqrt{ 64+\sqrt{256+\cdots}}}}=2\sqrt{1+\sqrt{4+\sqrt{ 16+\sqrt{64+\cdots}}}}

cmnt la vérifier

Posté par
carpediem
re : simplifier 16-06-19 à 15:00

en fait je crois bien que je me suis trompé ...

Posté par
larrech
re : simplifier 17-06-19 à 14:38

Bonjour,

On remarque que

2=\sqrt{1+3}
 \\ 3=\sqrt{4+5}
 \\ 5=\sqrt{16+9}

et ainsi de suite, de telle sorte qu'en posant v_n=2^n+1, où n\geq1,

comme 2^n+1=\sqrt{(2^n+1)^2}=\sqrt{2^{2n}+v_{n+1}, on a

2=\sqrt{1+\sqrt{4+\sqrt{16+\cdots+\sqrt{2^{2n}+v_{n+1}}}}}

Cela pour tout n\geq1.

2 est donc un majorant des termes de  la suite donnée.

Reste à voir si on peut  en tirer quelque chose ...

Posté par
larrech
re : simplifier 17-06-19 à 14:51

Bien sûr au lieu du "ainsi de suite", il faut en toute rigueur une récurrence, que j'ai tout juste esquissée.

Posté par
alb12
re : simplifier 18-06-19 à 19:27

salut,

Posté par
carpediem
re : simplifier 18-06-19 à 20:04

tellement simple ... mais tellement puissant !!!

il était pas con ce Ramanujan !!! quel génie !!!

merci

Posté par
foxp2
re : simplifier 19-06-19 à 11:57

merci à tous



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