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Niveau maths sup
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Simplifier une somme

Posté par
Newgatee
06-10-21 à 23:02

Bonjour,

J'ai un exercice qui consiste à simplifier la somme suivante : 1+\frac{3}{2^{2}}+\frac{5}{2^{4}}+...+\frac{2n+1}{2^{2n}}

On nous donne comme indice de calculer d'abord Sn-\frac{1}{4}Sn.

Même avec ça je n'arrive pas à simplifier la somme ...

Pourriez-vous m'aider ?

Cordialement,

Posté par
bernardo314
re : Simplifier une somme 06-10-21 à 23:13

Bonsoir,

(2k +1) /22k = 1/22k-1 + 1/22k

peu être un début...

Posté par
larrech
re : Simplifier une somme 06-10-21 à 23:33

Bonsoir,

Je ne vais pas rester, mais tu peux toujours essayer.

Si on écrit les termes successifs (2k+1)/22k-(2k+1)/22k+2, on obtient

1-1/4
3/22-3/24
5/24-5/26
7/26-7/28[/sup]
......

regroupe les termes de même couleur (télescopage)

Posté par
carpediem
re : Simplifier une somme 07-10-21 à 12:30

salut

Newgatee @ 06-10-2021 à 23:02

Même avec ça je n'arrive pas à simplifier la somme ...
peut-être ne travaillant avec méthode ...

le principe est donné par mes prédécesseurs mais en travaillant avec méthode et organisation en écrivant :

S = \sum_0^n \dfrac {2n + 1} {4^n} = ...
 \\ 4S = \sum_0^n ... = ...
 \\ 4S - S = ...

et après avoir écrit correctement les 5-6 premiers termes et les 3-4 derniers termes après le dernier = il suffit e regarder pour voir .... ce qu'on dit mes collègues ...

Posté par
Newgatee
re : Simplifier une somme 08-10-21 à 22:52

Bonsoir, merci de vos réponses,

J'ai donc rassembler les termes entres eux, et j'ai obtenu une somme de progression géométrique.



Sn-(1/4)Sn=1+2(\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^{3}}+...+\frac{1}{4^{n}})-\frac{2n+1}{2^{2n+2}}
 \\ 
 \\ Sn-(1/4)Sn=1+2 (\frac{1-4}{1-4^{4n+1}})-\frac{2n+1}{2^{2n+2}}

Cependant je dois trouver une expression simplifiée de Sn. Or là j'ai (3/4)Sn...

Qu'en pensez-vous ?

Posté par
larrech
re : Simplifier une somme 08-10-21 à 23:11

Il suffit de multiplier le résultat par 4/3.

L'ennui, c'est que le terme du milieu est erroné.

Posté par
Newgatee
re : Simplifier une somme 09-10-21 à 09:30

\frac{3Sn}{4}=1+2(\frac{1-0.25^{n+1}}{1-0.25}-1)-\frac{2}{2^2n+2}

en multipliant par 3/4   : \frac{3}{2}(\frac{1}{2}+(\frac{1-0.25^{n+1}}{1-0.25}-1))-\frac{2}{2^{2n+3}}

Posté par
Newgatee
re : Simplifier une somme 09-10-21 à 09:44

petite coquille dans le dernier terme de la dernière ligne, c'est
\frac{2}{2^{2n+2}}

Posté par
larrech
re : Simplifier une somme 09-10-21 à 09:45

L'expression de 3Sn/4 est juste, mais il faut arranger tout ça.  

Comme on ne va pas jouer au chat et à la souris, je te donne mon résultat, à vérifier :

\dfrac{3S_n}{4}= \dfrac{1}{3} \left (5-\dfrac{6n+11}{2^{2n+2}}\right)

Mais ensuite il faut multiplier par l'inverse de 3/4, c'est à dire par 4/3

Posté par
Newgatee
re : Simplifier une somme 09-10-21 à 14:39

Sn=\frac{4}{3}[1+2(\frac{1-0.25^n}{3}-\frac{1}{2^{2n+2}})]

voilà ce que je trouve

Posté par
larrech
re : Simplifier une somme 09-10-21 à 15:02

J'ai lu trop vite à 9h45, il faut :

\dfrac{3Sn}{4}=1+2(\dfrac{1-0.25^{n+1}}{1-0.25}-1)-\dfrac{{\red 2n+1}}{2^{2n+2}}

Donc à revoir, désolé.

Posté par
Newgatee
re : Simplifier une somme 09-10-21 à 16:23

oui, effectivement je m'étais trompé.
Mais l'expression que j'ai écrite à 14h39 a été écrite à partir de ce que vous écrivez à 15h02.

Posté par
larrech
re : Simplifier une somme 09-10-21 à 16:56

Allons-y pas à pas

\dfrac{1-0.25^{n+1}}{1-0.25}-1=(1-\dfrac{1}{4^{n+1}})\dfrac{4}{3}-1=\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{3\times 4^n}-\dfrac{3}{3}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3\times 4^n}

D'où

\dfrac{3S_n}{4}=1+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3\times 4^n}-\dfrac{ 2n+1}{2^{2n+2}}=\dfrac{1}{3} \left(5-\dfrac{1}{2^{2n-1}}-\dfrac{6n+3}{2^{2n+2}}\right)=\dfrac{1}{3} \left (5-\dfrac{6n+11}{2^{2n+2}}\right)

d'où en définitive S_n=\dfrac{4}{9} \left (5-\dfrac{6n+11}{2^{2n+2}}\right)

Posté par
carpediem
re : Simplifier une somme 09-10-21 à 17:18

S = \sum_0^n \dfrac {2k + 1} {4^k}
 \\ 
 \\ 4S = \sum_0^n \dfrac {2k + 1} {4^{k - 1}} = \sum_0^n \dfrac {2(k - 1) + 3} {4^{k - 1}}  = \sum_{-1}^{n - 1} \dfrac {2k + 3} {4^k}
 \\ 
 \\ 4S - S = 4 + \sum_0^{n - 1} \left( \dfrac {2k + 3} {4^k} - \dfrac {2k + 1} {4^k} \right) - \dfrac {2n + 1} {4^n} = ...

et il ne restera qu'à diviser par 3 ...

Posté par
larrech
re : Simplifier une somme 09-10-21 à 18:26

Par bonheur le résultat final est le même...

Posté par
carpediem
re : Simplifier une somme 09-10-21 à 18:37

ouais heureusement ... et surtout parce que je m'embête avec moins de fractions ...

Posté par
larrech
re : Simplifier une somme 09-10-21 à 18:45

Certes, mais j'ai détaillé à l'extrême; de toutes façons, le plus rapide c'est Wolfram :

S_n= \dfrac{4^{-n}}{9}\left(5\times 4^{n+1}-6n-11\right)

annonce-t-il

Posté par
Razes
re : Simplifier une somme 09-10-21 à 19:47

Bonjour,

Autre façon de faire:
f(x)=x+x^3+x^5+...+x^{2n+1} dont on peut calculer facilement la somme.

f'(x)=1+3x^2+5x^4+...+(2n+1)x^{2n}

On déduit de la forme réduite : f'(\frac 12)



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