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Niveau maths sup
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sin(x+y)=sin x+sin y

Posté par
disz
19-07-21 à 17:20

Bonjour
Je  cherche a résoudre l'équation suivante dans R
sin(x+y)=sin x + sin y
Mais la  aucune idée  me viens a l'esprit.

modération> *disz,
Tu n'as pas renseigné ton profil comme demandé   lire  Q12 [lien]

Quand tu l'auras fait, utilise signaler un problème (autre) sous la zone de saisie, pour demander qu'on te déverrouille ton sujet*

Posté par
malou Webmaster
re : sin(x+y)=sin x+sin y 19-07-21 à 17:23

bonjour
ça ce n'est certainement pas ton énoncé...on ne sait même pas qui on cherche !
énoncé exact au mot près s'il te plaît ...

Posté par
disz
re : sin(x+y)=sin x+sin y 19-07-21 à 18:13

L'énoncé  est de résoudre  dans R²    sin(x+y)=sin x +sin y

Posté par
matheuxmatou
re : sin(x+y)=sin x+sin y 19-07-21 à 18:20

bonsoir

on peut peut-être déjà essayer de réduire l'ensemble d'étude de cette équation ... ?

Posté par
matheuxmatou
re : sin(x+y)=sin x+sin y 19-07-21 à 18:42

et même directement, sans réduire  l'ensemble de recherche, c'est assez immédiat, il me semble, avec le formulaire trigonométrique

Posté par
verdurin
re : sin(x+y)=sin x+sin y 19-07-21 à 20:01

Bonsoir,
une idée :
poser u=\frac12(x+y) et v=\frac12(x-y).

Avec ce changement de variables on retrouve une formule qui n'est plus au programme depuis longtemps et qui permet de résoudre l'exercice.

Posté par
disz
re : sin(x+y)=sin x+sin y 19-07-21 à 23:14

Matheuxmatoux
J'aimerais bien voir en quoi c'est trivial.

Jevais essayer votre méthode  verdurin

Posté par
matheuxmatou
re : sin(x+y)=sin x+sin y 20-07-21 à 08:55

disz

\sin(a)=2\sin\left(\dfrac{a}{2}\right)\cos\left(\dfrac{a}{2}\right)

\sin(a)+\sin(b)=2\sin\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right)

ce qui mène rapidement aux solutions sur ²

Posté par
verdurin
re : sin(x+y)=sin x+sin y 20-07-21 à 19:38

Bonsoir matheuxmatou.
En gros je donnais une méthode pour démontrer ta seconde formule.
Dont je pense qu'elle n'est plus enseignée.

Posté par
Zrun
re : sin(x+y)=sin x+sin y 20-07-21 à 23:16

verdurin @ 20-07-2021 à 19:38

Bonsoir matheuxmatou.
En gros je donnais une méthode pour démontrer ta seconde formule.
Dont je pense qu'elle n'est plus enseignée.

Bonsoir verdurin,

Elle l'était encore quand j'étais en sup il y a 4 ans !

Posté par
disz
re : sin(x+y)=sin x+sin y 21-07-21 à 09:01

Merci   j'ai résolu l'équation a téte reposé .

Posté par
matheuxmatou
re : sin(x+y)=sin x+sin y 21-07-21 à 10:16

disz : et tu trouves quoi ?

verdurin : c'est vrai que je ne sais plus ce qui est encore au programme. et elle se reconstitue vite avec ton changement de variable

Posté par
GBZM
re : sin(x+y)=sin x+sin y 21-07-21 à 18:38

Bonjour,

En utilisant une formule trigonométrique normalement bien connue, l'équation devient

\large \sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)=\sin(x)+\sin(y)

soit encore

\large (\cos(x)-1)\sin(y)+\sin(x)(\cos(y)-1)=0

Cette équation exprime que le vecteur \vec{OM}, où M de coordonnées (\cos(x)-1,\sin(x)) est un point du cercle unité décalé de 1 vers la gauche, est orthogonal au vecteur \vec{OP}, où P de coordonnées (\sin(y),\cos(y)-1) est un point du cercle unité décalé de 1 vers le bas.
On peut aussi remarquer qu'on passe d'un cercle à l'autre par une rotation d'un quart de tour de centre O

Posté par
matheuxmatou
re : sin(x+y)=sin x+sin y 21-07-21 à 21:13

c'est pas mal non plus

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : sin(x+y)=sin x+sin y 22-07-21 à 10:19

Bonjour,
Je propose une méthode supplémentaire, mais pas vraiment simple :
1) Constater que l'égalité est vérifiée si un des cosinus est égal à 1.
2) Séparer les inconnues quand les cosinus sont différents de 1.
sin(x) / (1-cos(x)) = -sin(y) / (1-cos(y)).

En posant \; f(x) = sin(x) / (1-cos(x)) , on obtient \; f(x) = f(-y) .
La fonction f est strictement monotone sur ]-;0[ et sur ]0;[.
De plus les images de ces deux intervalles sont disjoints.
Donc, pour x et y dans ]-;0[ ]0;[, on a \; f(x) = f(-y) x = -y .

Posté par
GBZM
re : sin(x+y)=sin x+sin y 22-07-21 à 12:52


sin(x+y)=sin x+sin y



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