Bonjour,
Dans un des mes exercices, le corrigé indique quelque chose qui me surprend, mais qui est, donc, nécessairement juste.
Voila l'énoncé :
Montrez l'équivalence : Un espace métrique X est connexe si et seulement si toute fonction continue de X dans {0,1} est constante
Pour le sens direct, nous posons O0=f-1({0}) et O1=f-1({1}), avec f une conction continue de X dans {0,1}
On a que O0O1=X
On veut montrer que cette union est bien une partition de X en deux ouverts.
Il suffit donc que {0} et {1} soient des ouverts de {0,1}.
Mais comment montrer cela ? Quelle norme utiliser pour montrer que tout rayon r>0, les boules B(0,r){0,1} et B(1,r){0,1}
Enfin je me perds car on est dans un espace qui est "discret".
C'est pareil pour ,, ? Tout les singletons de ces ensembles sont des ouverts de ces ensembles ?
du coup les singletons sont à la fois ouverts et fermé ????
Merci
Bonjour,
C'est {0,1} avec la topologie discrète : toutes les parties de {0,1} sont ouvertes (et fermées). C'est la topologie induite sur {0,1} par la topologie usuelle de , celle donnée par la distance .
La topologie usuelle de induit aussi la topologie discrète sur et ; Mais pas sur .
Une union finie d'ouverts (et fermé) est ouverte (et fermé)
On en ecrivant que {1,0} est ouvert (et fermé), a t'ont nécessairement que {0} et {1} sont ouverts (et fermés) car {0,1}={0}{1} est ouvert (et fermé) ?
Une union quelconque d'ouverts est ouverte.
Que ne comprends-tu pas dans ce que j'écris ?
{0,1} est un espace métrique, avec la distance qui vient de la distance sur : la distance entre 0 et 1 est 1.
{0} et {1} sont ouverts dans {0,1}.
La boule ouverte de centre 0 et de rayon 1/2, dans {0,1}, est réduite à {0}, par exemple.
Oui je sais qu'une union quelconque d'ouverts est ouverte. Mais donc en particulier une union finie 😂
Bref
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