Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Partager :

singleton ouvert ?

Posté par
maxxiiime
02-12-20 à 13:30

Bonjour,
Dans un des mes exercices, le corrigé indique quelque chose qui me surprend, mais qui est, donc, nécessairement juste.
Voila l'énoncé :
Montrez l'équivalence : Un espace métrique X est connexe si et seulement si toute fonction continue de X dans {0,1} est constante
Pour le sens direct, nous posons O0=f-1({0}) et O1=f-1({1}), avec f une conction continue de X dans {0,1}
On a que O0O1=X
On veut montrer que cette union est bien une partition de X en deux ouverts.
Il suffit donc que {0} et {1} soient des ouverts de {0,1}.
Mais comment montrer cela ? Quelle norme utiliser pour montrer que tout rayon r>0, les boules B(0,r){0,1} et B(1,r){0,1}
Enfin je me perds car on est dans un espace qui est "discret".

C'est pareil pour ,, ? Tout les singletons de ces ensembles sont des ouverts de ces ensembles ?
du coup les singletons sont à la fois ouverts et fermé ????

Merci

Posté par
GBZM
re : singleton ouvert ? 02-12-20 à 14:19

Bonjour,

C'est {0,1} avec la topologie discrète : toutes les parties de {0,1} sont ouvertes (et fermées).  C'est la topologie induite sur {0,1} par la topologie usuelle de \mathbb R, celle donnée par la distance (a,b) \mapsto |a-b|.
La topologie usuelle de \mathbb R induit aussi la topologie discrète sur \mathbb Z et \mathbb N ; Mais pas sur \mathbb Q.

Posté par
maxxiiime
re : singleton ouvert ? 02-12-20 à 15:08

Je ne comprends pas vos explications...
Merci quand même

Posté par
maxxiiime
re : singleton ouvert ? 02-12-20 à 15:14

Une union finie d'ouverts (et fermé) est ouverte (et fermé)
On en ecrivant que {1,0} est ouvert (et fermé), a t'ont nécessairement que {0} et {1} sont ouverts (et fermés) car {0,1}={0}{1} est ouvert (et fermé) ?

Posté par
maxxiiime
re : singleton ouvert ? 02-12-20 à 15:14

car l'union est disjointe

Posté par
GBZM
re : singleton ouvert ? 02-12-20 à 16:44

Une union quelconque d'ouverts est ouverte.

Que ne comprends-tu pas dans ce que j'écris ?
{0,1} est un espace métrique, avec la distance qui vient de la distance sur \R : la distance entre 0 et 1 est 1.
{0} et {1} sont ouverts dans {0,1}.
La boule ouverte de centre 0 et de rayon 1/2, dans {0,1}, est réduite à {0}, par exemple.

Posté par
maxxiiime
re : singleton ouvert ? 02-12-20 à 19:32

Oui je sais qu'une union quelconque d'ouverts est ouverte. Mais donc en particulier une union finie 😂
Bref
Merci de votre réponse

Posté par
GBZM
re : singleton ouvert ? 03-12-20 à 10:01

As-tu compris que la topologie sur {0,1}, , induite par celle de est la topologie discrète ?
As-tu compris que, par contre, la topologie sur induite par celle de n'est pas la topologie discrète ?



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !