Bonsoir

si tu as f une fonction holomorphe alors f admet une singularité essentielle en si pour tout est dense dans .

Kaiser

oups , oublie ce que j'ai dit (je n'ai pas parlé des séries de Laurent)

Kaiser

re kaiser,

Ce n'est pas le théorème de Picard ça, ou alors quelque chose d'un peu moins fort ?

Casorati-Weierstrass

Exact, et dire que je viens de recopier l'énoncé il y a 10 minutes à peine

Bonjour
J'arrive encore bonne dernière, mais je crois que fusionfroide n'a pas eu sa réponse. Une singularité essentielle se reconnait au fait que la fonction est holomorphe sur un voisinage du point considéré et que son développement de Laurent en ce point possède une infinité de coefficients non nuls d'indice strictement négatif. C'est équivalent au fait que l'image de tout voisinage est dense, mais pour moi ceci est plutöt un théorème.

Salut,
je suis de l'avis de Camélia sur les singularités essentielles.
Il faut noter qu'il n'existent que 3 types de singularités isolées, les singularités enlevables, les pôles et les singularités essentielles.
Le premier type est un faux type de singularité, par exemple sin(z)/z. On peut prolonger la fonction de façon holomorphe au voisinage de la singularité qui est ici 0. Finalement il n'y a pas vraiment de singularité.

Le second type de singularité, les pôles sont des singularités que l'on peut enlever si on multiplie par une puissance bien choisie d'un facteur Q=(z-zo).
Il n'existe qu'une seule puissance n de Q, telle que f(z_0)*Q^n(z_0) soit finie et non nulle. Ce nombre n est appelé ordre du pôle. Si tu regardes ce qui se passe au niveau des série de Laurent, c'est évident.

Il y'a les autres, les mauvaises singularités, les plus méchantes en fait, qui sont les singularités essentielles.

Pour ce qui est du théorème de Picard, il dit que toute fonction entière qui omet au moins deux points est constante. La preuve est (très) fortement non triviale. Tu peux en trouver une dans Real and complex analysis de Rudin, dans le livre "Complex analysis" de Ahlfors, ou dans tout bon livre qui traite des surfaces de Riemann, par exemple le très bon livre d'Ahlfors sur le sujet, ou le livre d'Ahlfors en géométrie hyperbolique.

a+

Salut otto! d'accord avec tout!