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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
singularité essentielle
Posté par loulouetlilou
Bonjour à tous. J'aurais besoin de votre aide pour un exercice d'analyse complexe. On considère un ouvert U, un point a de U et f une fonction ayant a comme singularité essentielle (on ne sait rien de plus sur f). On considère maintenant la fonction g holomorphe non constante. Et il faut montrer que g o f admet a comme singularité essentielle. ça ne doit pas être bien compliqué mais je sèche sur comment faire. J'ai essayé d'utiliser le théoreme de Casorati Weistrass mais je sais pas comment calculer l'adhérence d'une composé d'image directe. Votre aide est donc la bienvenue, merci d'avance !
Salut loulouetlilou,
Pour toute fonction continue tu as l'inclusion : f(adh(A))
adh(f(A)), où adh() est l'adhérence. Donc si g est surjective, ce que tu cherches est une application directe de Casorati-Weierstrass.
Mais dans le cas général je vois pas non plus comment conclure avec ce théorème. Je procéderais comme suit. Comme g holomorphe (sur C je suppose), a est une singularité isolée de . Ce qui donne 3 possibilités : singularité éliminable, pôle, ou singularité essentiellement isolée.
Ensuite en utilisant les caractérisations d'une singularité éliminable et d'un pôle, montrer que c'est finalement une singularité essentiellement isolée.
Bonjour, je me permets de reprendre ce fil après avoir lu quelque chose d'intéressant.
Aalex00
si g est surjective, ce que tu cherches est une application directe de Casorati-Weierstrass.
En fait il suffit que g soit entière et non constante sur si g est surjective, ce que tu cherches est une application directe de Casorati-Weierstrass.
Par l'absurde, si ce n'est pas le cas, alors il existe
Ainsi la fonction
Puis on conclut le problème initial avec l'inclusion que j'ai donné.
Bonjour ! Oui oui je connaissais la propriété que vous me proposez de démontrer, je l'ai vu en exercice de TD. Ce qui me bloque c'est l'inclusion que vous donnez ... J'ai presque réussi l'exercice il me manque juste à montrer g(adh(f(V)) inclus dans adh((gof)(V)) avec V une voisinage de a dans U
Bonjour,
L'inclusion à montrer est : . Ou plus généralement, pour une partie
, il faut montrer que
.
Comment décris tu un élément de , de
?
Bonjour, j'ai essayé de démontrer l'inclusion, pouvez-vous vérifier mon raisonnement ?
L'inclusion à montrer est pour une partie on a
. En utilisant la continuité de g sur C on a