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Niveau terminale
Sinus et cosinus demonstratrion
Posté par Slpok
Salut,
Un professeur de Terminale m'a donné cette démonstration à faire :
∀x ∈ R, cos((sin(x)) > sin(cos(x)).
Il m'a bien spécifié que c'était vraiment pas facile avec les outils de terminale mais néanmoins faisable, et j'ai bien envie de m'y attaquer.
J'aimerais bien des pistes pour pouvoir commencer mes recherches,
Merci 
Salut,
Tres bel exercice que je ne crois pas avoir deja vu.
Une piste, definir f(x)=cos(sinx)-sin(cosx) et etudier la fonction.
Tu sais deriver les fonctions composees ?
J'avais pensé à dériver aussi, mais j'aboutissait sur des calculs trés longs et bien tordus.
Veux-tu que je te poste ce que j'ai fais ?
Sinon, pour répondre clairement à ta question, on va dire que je me débrouille, mais c'est assez nouveau pour moi tout de même.
La derivee n'est pas facile a etudier...
Essaie deja de reduire le probleme par periodicite et parite ensuite peux etre qu'une attaque directe par les signes est possible, avec peut-etre des formules de 1ere pour passer du cosinus au sinus avec les angles complementaires.
Bonne recherche.
on le voit graphiquement :
mais maintenant il faut le démontrer.
Effectivement, étudie la fonction f(x) comme l'a conseillé TheMathHatter
Si on reprend avec la fonction f definie par . La fonction est paire donc on peut réduire l'étude à [0;pi].
Si on sépare l'intervalle ensuite,
On trouve que sur [0;pi/2] cos(sinx) décroît de 1 à cos1. et que sin(cos(x) décroît de sin1 à 0.
Sur [pi/2;pi] cos(sinx) est croissante de cos1 à 1 et sin(cosx) est décroissante de 0 à sin(-1).
On a donc cos(sinx) qui est strictement positive sur [0;pi] et sin(cosx) positive sur [0;pi/2] et négative sur [pi/2;pi].
Je suis de nouveau bloqué je crois.