Bonjour Sylvieg,

  

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J'ai vu des médiatrices, des bissectrices et finalement le centre du cercle inscrit à

  

Bonjour,
Je savais bien que ton "expresso" aurait des suites.

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Je sais faire  ,
Je vais essayer de trouver le rayon du fameux cercle.

suite,

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Soit a,b,c  les cotés du triangle ABC  
son demi périmètre est  (a+b+c)/2 =s
d'après Héron    r²= (s-a)(s-b)(s-c)/s
la corde totale est égale à a+b+c
Avec Pythagore  R²=r²+((a+b+c)/2)²
Exemple dans ton dessin a=4.6  b=3.5 et c=2-->R=5.091

Amusant

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Les hauteurs principales de tous ces triangles isocèles passent par un même point qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC .

bonjour Sylveg
merci pour cet exercice de géométrie (ils sont rares)
j'e n'ai pas trop  cherché

Imod

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oui ... donc si on montre qu'ils sont cocycliques, le centre du cercle de ces 6 points est le centre du cercle inscrit dans ABC ...

Oui , ce point est  équidistant de  :

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Q et P puis P et N puis N et M , puis ... ça devrait suffire non

Imod

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ah oui ok ... j'avais pas vu le coup avec le triangle CPN ... etc.

joli

Bonsoir à tous,
@lake et Imod,

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D'accord avec matheuxmatou :
Vous avez trouvé que le seul centre possible du cercle est le centre I du cercle inscrit du triangle.
IM = IN , IP = IQ et IR= IS.
Mais il reste à démontrer IM = IP = IR.

Désolé Sylvieg , je crois que tout est fait

Imod

J'ai raté deux messages et le coup avec le triangle

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CPN isocèle aussi
Ma démonstration, beaucoup plus lourde utilise Pythagore.

Donc bravo à lake et Imod !

Ce qui est bien dans cette rubrique "détente" c'est qu'on peut y voir des problèmes apparemment très scolaires prenant toute leur saveur hors contexte . C'est aussi un peu le principe des olympiades ou des rallyes maths mais avec un chrono .

En bref ,  j'aime bien ce petit coin

Imod

Nous sommes quelques "accros"

Réciproque :

Soit un triangle ABC de coté abc  de demi-périmètre s=(a+b+c)/2
On trace son cercle inscrit de centre o
on calcule son rayon  r  avec  r²=(s-a)(s-b)(s-c)/s
on  trace une tangente (perpendiculaire à ce rayon ) de dimension s
on calcule (r²+s²)=R
Le cercle de centre o et de rayon R est tel que les cordes formées
par le prolongement des cotés de ABC sont égales et mesurent a+b+c

Bonsoir,
@dpi,
Je ne vois pas à quel rayon est perpendiculaire la tangente dont tu parles.

Je pensais à une autre réciproque :
Un cercle donné, trouver un triangle ABC tels que les 6 points soient sur ce cercle.

Ce cercle des 6 points a un nom : Cercle de Conway. Voir
Et pour une réciproque un peu plus compliquée : et

>Sylvieg n'importe quel rayon du cercle inscrit....

Une fois trouvé R ,la suite est connue.