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Niveau seconde
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Solides de platon

Posté par
JupiterK
04-01-19 à 14:16

Voici le sujet :

Un polyèdre est dit régulier si chacune de ses faces est un polygone régulier et s'il a le même
nombre d'arêtes qui aboutissent à chaque sommet.
Euclide et Platon (au IV° siècle av. J.-C.) connaissaient cinq polyèdres convexes : le tétraèdre,
le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre.
A l'aide de la formule d'Euler, vous allez démonter que ces cinq polyèdres réguliers convexes
sont les seuls possibles.
On considère un polyèdre régulier convexe non croisé.
On note S le nombre de sommets, F le nombre de faces, A le nombre d'arêtes, p le nombre
d'arêtes issues de chaque sommet et n le nombre de côtés d'une face.
On rappelle la formule d'Euler-Descartes valable pour tous les polyèdres convexes :
S+F=A+2.

1) Justifier l'égalité : Fxn=Sxp

2) En utilisant la formule d'Euler-Descartes, démontrer l'égalité suivante :

1/p+1/n=1/2+1/A

3) En déduire l'inégalité :

1/p+1/n>1/2

Puis les cinq valeurs du couple (n ;p)
4) Décrire les cinq polyèdres de Platon dont on donne ci-dessous les patrons.

Je n'arrive à rien sachant que je n'ai aucun cours sur le sujet. Quelqu'un peut-il m'aider ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Solides de platon 04-01-19 à 14:32

tu devrais regarder là : solides

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 14:46

Merci mais il n'y a pas de réponse pour la première question et j'aimerais que vous m'expliquiez tout si c'est possible car l'importance c'est aussi de comprendre. Merci d'avance.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Solides de platon 04-01-19 à 14:50

Pourtant tu as une réponse détaillée dans le message : solides je ne peux pas faire mieux.

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 14:52

Pour Fxn=Sxp

Posté par
Glapion Moderateur
re : Solides de platon 04-01-19 à 14:54

j'avais compris. je t'ai posté le lien vers le message où il y a la démonstration dans mon post précédent.

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 14:55

Je vois mais je ne comprends pas cette réponse XD

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 14:59

Je crois que j'ai compris

Posté par
Glapion Moderateur
re : Solides de platon 04-01-19 à 15:02

Qu'est-ce qui te parait obscur dans :

S'il y a n cotés autour d'une face, chaque face génère n arêtes, mais ces arrêtes sont partagées par deux faces donc il y aura nF/2 arêtes en tout.

S'il y a p arêtes qui arrivent sur un sommet et qu'il y a S sommets, il y a en tout pS/2 arêtes (on divise par 2 parce qu'une arête est partagée par deux sommets)

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 15:06

J'ai pas complètement compris la seconde

Posté par
Glapion Moderateur
re : Solides de platon 04-01-19 à 15:09


il y en a p arêtes qui arrivent sur un sommet donné. Comme il y a S sommets, ça fait pS arêtes.
mais il ne faut pas les compter deux fois puisque chaque arête est partagée par 2 sommets. donc on divise par 2 et il y a en tout A = pS/2 arêtes

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 15:10

Ça y est j'ai compris merci, il faut que j'attaque les autres questions je vais essayer

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 15:13

Je suis ton explication et je suis tout de même un peu perdu je ne comprends pas la présence de Sp et Fn

Posté par
Glapion Moderateur
re : Solides de platon 04-01-19 à 15:17

on a donc compté de deux façons différentes le nombre d'arêtes A
on a trouvé pS/2 et aussi nF/2 on en conclut donc que A = pS/2 = nF/2

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 15:20

Je parle pour la suivante j'ai compris la première XD

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 15:21

Pour celui-ci

Glapion @ 03-01-2019 à 13:18

on part de 1/2+1/A
on réduit au même dénominateur = (A+2)/(2A) mais A+2 = S+F et 2A = Sp donc si on remplace ça donne
= (S+F)/(Sp) = 1/p + F/(Sp) mais nF = pS donc F/(Sp) =1/n
et donc on trouve 1/n + 1/p

exemple pour un cube :
A = 12 ; p = 3 ; n = 4
1/2 + 1/A = 1/2+1/12 = 7/12 et
1/n + 1/p = 1/4+1/3 = 7/12
l'égalité est bien respectée.

je ne vois pas où on a dit que  n+p =  S+F

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 15:21

En tout cas c'est très gentil de m'aider

Posté par
Glapion Moderateur
re : Solides de platon 04-01-19 à 15:23

La réponse est bien détaillée dans solides je ne vois pas quoi ajouter !

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 15:26

Je voudrais savoir pourquoi tu utilises Sp et Fn et je n'arrive pas à rédiger un texte compréhensible pour ma professeur

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 15:28

rien que pour (A+2)/(2A) je ne comprends pas. Tu parles de mettre sur le même dénominateur mais je ne vois pas pourquoi il ne reste que ça.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Solides de platon 04-01-19 à 15:30

mets 1/2+1/A au même dénominateur, ça donne quoi ? tu sais réduire deux fractions au même dénominateur, non ?

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 15:31

Oui mais là il y a deux fractions

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 15:32

Ca donne A/2A + 2/2A

Posté par
Glapion Moderateur
re : Solides de platon 04-01-19 à 15:33

oui deux fractions. et il faut les réduire au même dénominateur. on fait comment ? c'est quoi le dénominateur commun ?

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 15:33

2A

Posté par
Glapion Moderateur
re : Solides de platon 04-01-19 à 15:34

Citation :
Ca donne A/2A + 2/2A

oui OK donc (A+2)/2A OK ?
et maintenant tu remplaces le A+2 par A+2 = S+F

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 15:34

ah et si on les ajoute c'est bon

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 15:38

On obtient S+F/Sp

Posté par
Glapion Moderateur
re : Solides de platon 04-01-19 à 15:45

plutôt (S+F)/Sp = 1/p + F/Sp

et maintenant utilise les relations que tu as déjà démontrées pour transformer le F/Sp

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 15:46

Ca y est j'ai réussi cette exercice

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 15:47

Le problème c'est que son exercice s'arrêtait là mais mon DM a encore deux questions. Peux-tu m'aider jusqu'à la fin ?

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 15:49

Il demande :

En déduire l'inégalité : 1/p+1/n>1/2

Posté par
Glapion Moderateur
re : Solides de platon 04-01-19 à 15:51

tu as montré que 1/p+1/n = 1/A + 1/2 donc que vaut 1/p+1/n-1/2 et que vaut son signe ?

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 15:54

J'ai pris exemple sur le cube et j'ai obtenu 1/12

Posté par
Glapion Moderateur
re : Solides de platon 04-01-19 à 16:03

non pas d'exemple, en général.
que vaut 1/p+1/n-1/2 et que vaut son signe ?
utilise l'égalité que tu viens de démontrer.

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 16:08

Ça vaut (A+2)/(2A)-1/2 donc (A+2)/(2A)-A/(2A) donc 2

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 16:09

2/2A*

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 16:09

Et du coup 1/A

Posté par
Glapion Moderateur
re : Solides de platon 04-01-19 à 16:10

oui 1/p+1/n = 1/A + 1/2 1/p+1/n - 1/2 = 1/A

et donc c'est de quel signe ?

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 16:15

Positif

Posté par
Glapion Moderateur
re : Solides de platon 04-01-19 à 16:16

voilà ! et bien donc on a bien montré que 1/n+1/p-1/2 >0 1/n+1/p > 1/2

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 16:18

Génial ! Juste une dernière question : décrire un solide c'est dire son nombre d'arêtes, de faces, de sommets etc ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Solides de platon 04-01-19 à 16:20

oui

(et tu as trouvé les cinq valeurs du couple (n ;p) ? )

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 16:21

JupiterK @ 04-01-2019 à 16:08

Ça vaut (A+2)/(2A)-1/2 donc (A+2)/(2A)-A/(2A) donc 2
je me suis trompé ici non ? 1/2 ca fait A/2A et pas 2/2A si ?

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 16:22

On ne parle pas des couples dans ce dm

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 16:23

oublie ma citation je dis n'importe quoi XD

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 16:26

Du coup décrire un cube c'est dire 12 arêtes, 6 faces, 8 sommets etc ou c'est tout autre chose ?

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 16:35

Juste pour terminer le DM

Posté par
Glapion Moderateur
re : Solides de platon 04-01-19 à 16:37

oui, tu peux donner leur nom aussi : et puis décrire les faces (pour un cube ce sont des carrés par exemple, c'est plus simple à visualiser).

Posté par
JupiterK
re : Solides de platon 04-01-19 à 16:38

merci pour ton temps et ta patience

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