Voici le sujet :
Un polyèdre est dit régulier si chacune de ses faces est un polygone régulier et s'il a le même
nombre d'arêtes qui aboutissent à chaque sommet.
Euclide et Platon (au IV° siècle av. J.-C.) connaissaient cinq polyèdres convexes : le tétraèdre,
le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre.
A l'aide de la formule d'Euler, vous allez démonter que ces cinq polyèdres réguliers convexes
sont les seuls possibles.
On considère un polyèdre régulier convexe non croisé.
On note S le nombre de sommets, F le nombre de faces, A le nombre d'arêtes, p le nombre
d'arêtes issues de chaque sommet et n le nombre de côtés d'une face.
On rappelle la formule d'Euler-Descartes valable pour tous les polyèdres convexes :
S+F=A+2.
1) Justifier l'égalité : Fxn=Sxp
2) En utilisant la formule d'Euler-Descartes, démontrer l'égalité suivante :
1/p+1/n=1/2+1/A
3) En déduire l'inégalité :
1/p+1/n>1/2
Puis les cinq valeurs du couple (n ;p)
4) Décrire les cinq polyèdres de Platon dont on donne ci-dessous les patrons.
Je n'arrive à rien sachant que je n'ai aucun cours sur le sujet. Quelqu'un peut-il m'aider ?
Merci mais il n'y a pas de réponse pour la première question et j'aimerais que vous m'expliquiez tout si c'est possible car l'importance c'est aussi de comprendre. Merci d'avance.
Pourtant tu as une réponse détaillée dans le message : solides je ne peux pas faire mieux.
j'avais compris. je t'ai posté le lien vers le message où il y a la démonstration dans mon post précédent.
Qu'est-ce qui te parait obscur dans :
S'il y a n cotés autour d'une face, chaque face génère n arêtes, mais ces arrêtes sont partagées par deux faces donc il y aura nF/2 arêtes en tout.
S'il y a p arêtes qui arrivent sur un sommet et qu'il y a S sommets, il y a en tout pS/2 arêtes (on divise par 2 parce qu'une arête est partagée par deux sommets)
il y en a p arêtes qui arrivent sur un sommet donné. Comme il y a S sommets, ça fait pS arêtes.
mais il ne faut pas les compter deux fois puisque chaque arête est partagée par 2 sommets. donc on divise par 2 et il y a en tout A = pS/2 arêtes
Je suis ton explication et je suis tout de même un peu perdu je ne comprends pas la présence de Sp et Fn
on a donc compté de deux façons différentes le nombre d'arêtes A
on a trouvé pS/2 et aussi nF/2 on en conclut donc que A = pS/2 = nF/2
Pour celui-ci
La réponse est bien détaillée dans solides je ne vois pas quoi ajouter !
Je voudrais savoir pourquoi tu utilises Sp et Fn et je n'arrive pas à rédiger un texte compréhensible pour ma professeur
rien que pour (A+2)/(2A) je ne comprends pas. Tu parles de mettre sur le même dénominateur mais je ne vois pas pourquoi il ne reste que ça.
mets 1/2+1/A au même dénominateur, ça donne quoi ? tu sais réduire deux fractions au même dénominateur, non ?
oui deux fractions. et il faut les réduire au même dénominateur. on fait comment ? c'est quoi le dénominateur commun ?
plutôt (S+F)/Sp = 1/p + F/Sp
et maintenant utilise les relations que tu as déjà démontrées pour transformer le F/Sp
Le problème c'est que son exercice s'arrêtait là mais mon DM a encore deux questions. Peux-tu m'aider jusqu'à la fin ?
non pas d'exemple, en général.
que vaut 1/p+1/n-1/2 et que vaut son signe ?
utilise l'égalité que tu viens de démontrer.
Génial ! Juste une dernière question : décrire un solide c'est dire son nombre d'arêtes, de faces, de sommets etc ?
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