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solution analytique tangente à plusieurs courbes

Posté par
massaproduxy 18-09-17 à 00:35

Allez ! Je me lance ! ça fait quelques jours que je parcours ce forum et que j'y trouve plein de contributions intéressantes et comme je bloque sur un sujet, je tente ma chance pour trouver quelqu'un qui pourrait me montrer la voie:

Le sujet : Trouver de façon analytique le cercle (le plus petit) tangent à deux courbes (connues) et passant par un point appartenant à l'une des courbes.

Je limite l'étude aux cas combinés de Droites / Cercles et Ellipses...

par exemple, trouver le rayon (du plus petit) cercle tangent à deux cercles connus (centre et rayon) et passant par un point fixé d'un des deux cercles (ou de l'ellipse)

Je sais résoudre ce cas par la géométrie (Homothétie et Inversion) mais je voudrais systématiser un système d'équations reprenant les dérivés des courbes.

Seulement voilà, je n'ai pas les idées claires et n'arrive pas à poser mon système d'équations.

Une idée ? Merci d'avance.

Posté par solution analytique tangente à plusieurs courbes 18-09-17 à 11:16

bonjour,
il est aussi facile d'entrevoir le cas général
Première remarque: Il peut y avoir plusieurs cercles de même rayon ou de rayon distincts satisfaisant aux conditions de tangence, dans le second cas il faudra choisir celui de rayon minimum.

2ème remarque: il faut des courbes qui dans la zone concernée soit définies par des fonctions dérivables.

enfin le centre d'un tel cercle est sur la normale à la tangente à la courbe en ce point.
Tu connais un  vecteur directeur de la tangente, tu en déduis  un vecteurs de la normale et donc l'équation cartésienne de la droite possédant ce centre.

Tu définis la famille des tangentes à la 2ème courbe, donc  la famille des normales,
En calculant les coordonnées de l'intersection, tu obtiens une famille de points, un candidat à la solution est donc centré sur le point situé à égale distance des deux points de contact des tangentes.

maintenant comme cela c'est facile à dire, il faut voir ce que cela donne dans des cas particulier.

(cercle, cercles), (cercle,droite) , droite(droite) sont des cas triviaux
pour l'ellipse il te faut connaître l'équation de la normale en un point.
pour (ellipse, droite) ou (ellipse cercle) tu as intérêt à choisir un repère adapté à l'ellipse
Pour (ellipse ,ellipse)  il te faudra opérzer à un changement de repère pour les calculs afférant à la 2ème ellipse.

J'espère que tu peux te débrouiller avec cela.

sinon je peux te fournir quelques détails techniques

Posté par re : solution analytique tangente à plusieurs courbes 18-09-17 à 14:55

Merci Domorea ! ... qu'il est bon d'être compris !

Oui c'est bien dans cette voie que je me suis engagé .... puis perdu (par manque de pratique... )
Je veux systématiser le traitement de courbes issues de dessins techniques, les courbes existent et oui, elles sont dérivables sur les intervalles considérés et oui, je ne retiendrai que le plus petit cercle possible.
Je prends votre réponse comme un signe d'encouragement et vais m'y remettre ce soir.

Je reviendrai certainement vers vous.

Posté par re : solution analytique tangente à plusieurs courbes 21-09-17 à 00:17

Bonsoir, Je reviens vers DOMOREA ...

La mécanique est vraiment rouillée et j'ai un peu honte de patauger autant dans les trivialités !
Restons dans le cas du cercle tangent à deux cercles (Je m'attaquerais aux ellipses après)
Pour ce qui est de la famille des normales au cercle, il faut dériver en X l'équation implicite du cercle.
Je m'en débrouille avec un cercle centré sur l'origine, mais dès que je pose l'équation générale $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b^ \right)^{2}=r^{2}\$
je ne sais plus comment isoler y ?

Puis-je écrire que $y = b + \sqrt{r^{2-\left(x-a \right)^{2}}}$ avec $y = f(x)$

$X^{2 }+\left[F(x) \right] \^{2}=r^{2}$
soit $2x+2F(x).F'(x) = 0$

et $F'\left(x \right)=- \frac{\left(2x-2a \right)}{2\sqrt{r^{2-\left(x-a \right)}^{2}}}$

est-ce la pente de la tangente (sur la partie dérivable) aux simplifications près ?
Si c'est bien ça, reste à écrire l'équation de la normale...

Posté par re : solution analytique tangente à plusieurs courbes 23-09-17 à 16:47

Je suis dans l'incapacité de formuler analytiquement le pb, même pour les cas les plus simples.
Prenons le cas de deux droites (D1 et D2 connues) avec un point de tangence B connu situé sur D1.
La question est: Comment trouver analytiquement (résolution par SYMPY ) le cercle tangent aux deux droites et passant par le point B. (Géométriquement, le pb est simple et résolu).

Ce cercle aura son centre situé sur la normale au point de contact.
Ce cercle également son centre sur une normale à la seconde droite et son centre est équidistant au deux droites.

DOMOREA m'a mis sur la voie mais je ne sais pas mettre en équation la famille des droites normales à D2...
Une fois ce cas résolu, j'espère être capable de résoudre les cas droites/cercles cercle/cercle ou cercle/ellipse

Quelqu'un saurait-il m'aider ? Merci d'avance pour votre attention.

Posté par re : solution analytique tangente à plusieurs courbes 25-09-17 à 18:47

Je continue (un peu seul à mon goût ) mais mon problème n'ayant que peu avancé...
Je traite pour le moment le cas du cercle tangent à 2 droites (D1 et D2 de pentes a1 et a2 et passant par le point B de la droite D1.
Le cercle recherché est de centre C (x,y)

Voici ce que j'ai posé:

1ère condition: Le cercle cherché est centré sur la normale à D1 passant par D1

ce qui se traduit par $y = n1.x + y(B)+\frac{x(B)}{a1}$

2nd condition: Le centre du cercle cherché est équidistant de D1 et D2

ce qui se traduit par CI = |1.(y-y(A))−a2.(x-x(A))| / $\sqrt{1+a2^{2}}$
avec I projeté de C sur D2

CI = rayon du cercle
avec rayon = $\sqrt{(x-x(B))^{2}+(y-y(B))^{2}}$

Voilà où j'en suis dans la rédaction des équations.
J'aurais bien voulu avoir un autre avis que le mien pour savoir si c'est la façon la plus judicieuse de poser le pb en vue d'une résolution par Sympy.

Posté par solution analytique tangente à plusieurs courbes 25-09-17 à 19:34

bonjour,
je n'avais pas relu la suite du fil de ton post (j'ai reçu ton mail)
J'avoue que la méthode analytique pour 2 cercles me semble compliquer une chose simple; le cercle cherché est sur la ligne es centres comme tu le sais sans doute quant aux normales aux tangentes ce sont des droites passant par les centres, tu n'as donc pas à passer par les tangentes, tu peux évidement écrire les équations, pour la première où tu connais le point de contact, tu as l'équation complète pour l'autre tu as une indétetrminée puique tu connais les coordonnées du centre mais pas la direction.
bon courage

Posté par re : solution analytique tangente à plusieurs courbes 21-10-17 à 20:50

Bonsoir,
Alors avec un peu de délai, je poursuis ma quête... Je souhaite tout d'abord dire à DOMOREA que j'en suis à la dernière partie de ma tâche, à savoir les ellipses (Cercle tangent à deux ellipses).
Comme conseillé, j'ai effectué le changement de repère pour que la seconde ellipse puisse s'écrire $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{^b{2}}=1$
J'ai appliqué à la normale D1 à la première ellipse ce changement de repère et vérifié que le résultat obtenu était le bon.

Puis, j'ai posé comme système d'équations suivant pour trouver la famille des points intersection des normales à la seconde ellipse avec D1.

Equation des normales à la seconde ellipse : $a^{2}\times j\times (x-i)-b^{2}\times i\times (y-j)$
avec $\left(i,j \right)$ point Pt2 de l'ellipse

Python/Sympy/Solve me retourne comme solution le point M ( x , y ) avec x et y fonction de i et j.
J'ai là encore vérifié, j'ai des réponses cohérentes.

C'est ensuite que ça se complique. Il faut, parmi tous ces points, trouver le centre de mon cercle (passant par Pt1 le point figé sur la 1ère ellipse ) et tangent à la 2nde.
Pour ça, je constitue un nouveau système d'équation qui dit:

Distance Pt1M = Distance MPt2 soit:

$\sqrt{\left(x-xpt1 \right)^{2}+\left(y-ypt1 \right)^{2}}=\sqrt{\left(x-xpt2 \right)^{2}+\left(y-ypt2 \right)^{2}}$

Cette équation étant fonction de i et j uniquement,

Puis, comme seconde équation, celle de l'ellipse 2 , fonction de i et j.

$\frac{i^{2}}{a^{2}}+\frac{j^{2}}{^b{2}}=1$

Question : Est-ce la bonne façon de faire ?
Sympy.Solveset.nonlinsove pour le moment ne me retourne rien de satisfaisant.

Mais avant de savoir si je dois trouver pourquoi, je voudrais bien savoir si ma dernière équation est bien celle que je dois imposer.

Merci de m'avoir suivi jusque là et merci encore pour votre retour.

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