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solution d'une équation du second degré à coeff complexes

Posté par
isabelle11 24-09-17 à 15:16

Bonjour, je suis en prépa MPSI et j'ai un dm à faire avec une question où je ne vois pas très bien comment faire:

montrer que si z1 et z2 sont solutions de z^2-az+b+0 (avec a,b,z des complexes) alors z1 et Z2 ont le même argument si arg(b)=2 arg(a) et |a|^2-4|b|<0


Merci beaucoup pour votre aide ^^

Posté par
lafol Moderateurre : solution d'une équation du second degré à coeff complexes 24-09-17 à 15:35

Bonjour

écris z_1 = r_1e^{it} et z_2 = r_2e^{it} et souviens-toi que a = z_1+z_2 et b = z_1z_2 ...

Posté par
philgr22re : solution d'une équation du second degré à coeff complexes 24-09-17 à 15:36

Bonjour ,
Pense à l'ecriture exponentielle

Posté par
isabelle11re : solution d'une équation du second degré à coeff complexes 24-09-17 à 15:51

merci beaucoup!!! je vais essayer comme ça

Posté par
luzakre : solution d'une équation du second degré à coeff complexes 24-09-17 à 15:56

Bonjour !

Curieux...
Il me semble que si a=3,\;b=2 on a |a|^2-4|b|=1>0 et les solutions de z^2-3z+2=0 sont les réels positifs 1,\;2 qui ont même argument...

Moi je trouve que les conditions sont : \arg b=2\arg a et |a|^2-2|b|>0.
Quelqu'un pourrait-il confirmer ? Merci d'avance.

Voici ce que j'ai fait :
Soit u=\dfrac{z_1}{z_2}. Les racines ont même argument si et seulement si u est un réel strictement positif.
En utilisant somme et produit on a nécessairement b(1+u)^2=a^2u d'où le nécessaire \arg b=2\arg a.
Toujours en supposant u\in\R_+^* on a aussi |b|(1+u)^2=u|a^2| donc u racine de u^2+\dfrac{2|b|-|a|^2}{|b|}u+1=0.
Le produit des racines étant positif il faut une somme positive donc 2|b|-|a|^2<0.

Ces conditions me semblent suffisantes...

Posté par
lafol Moderateurre : solution d'une équation du second degré à coeff complexes 24-09-17 à 16:01

Oui, positif et pas négatif, la différence des modules
(elle vaut (r_1-r_2)^2, si r_1 et r_2 sont les modules des racines de même argument de z²-az+b)

Posté par
luzakre : solution d'une équation du second degré à coeff complexes 24-09-17 à 16:01

Bon, je me suis planté quelque part !
Mais la condition d'inégalité demandée est fausse . C'est |a|^2-4|b|>0

Posté par
isabelle11re : solution d'une équation du second degré à coeff complexes 24-09-17 à 16:02

En effet, je me suis trompée en posant l'énoncé, c'est bien |a|²-4|b|>0

Posté par
isabelle11re : solution d'une équation du second degré à coeff complexes 24-09-17 à 16:12

merci beaucoup pour vos réponses,
j'ai réussi à trouver la condition pour l'argument mais je ne vois pas très bien comment on arrive a la condition sur les modules

Posté par
lafol Moderateurre : solution d'une équation du second degré à coeff complexes 24-09-17 à 16:15

le fait qu'elle soit nécessaire repose sur des identités remarquables : si z_1 = r_1e^{it} et z_2 = r_2e^{it} on a |a|^2-4|b| = (r_1+r_2)^2-4r_1r_2 = (r_1-r_2)^2\geq 0

Posté par
isabelle11re : solution d'une équation du second degré à coeff complexes 24-09-17 à 16:21

merci beaucoup,
l'identité remarquable m'avait en effet échappé

encore un grand merci à vous

Posté par
lafol Moderateurre : solution d'une équation du second degré à coeff complexes 24-09-17 à 16:29

Pour montrer que les conditions sont suffisantes, tu peux poser t = arg(a)

on a donc a = |a|e^{it}, b = |b|e^{2it}, et :

z^2-az+b = z^2 - |a|ze^{it} + |b|e^{2it} \\ \\ =\left(z - \dfrac{|a|}{2}e^{it}\right)^2 +\left(|b|-\dfrac{|a|^2}{4}\right)e^{2it}

la condition sur les modules permet alors de continuer la factorisation :

z^2-az+b = \left(\left(z - \dfrac{|a|}{2}e^{it}\right)-\sqrt{\dfrac{|a|^2-4|b|}{4}}e^{it}\right)\left(\left(z - \dfrac{|a|}{2}e^{it}\right)+\sqrt{\dfrac{|a|^2-4|b|}{4}}e^{it}\right)

dont les deux racines sont bien de même argument t

Posté par
isabelle11re : solution d'une équation du second degré à coeff complexes 24-09-17 à 17:16

merci beaucoup!!!! tout est beaucoup plus clair maintenant,
encore merci et bonne soirée

Posté par
luzakre : solution d'une équation du second degré à coeff complexes 25-09-17 à 08:14

Il y a  deux problèmes avec cet énoncé !
1. L'inégalité stricte |a|^2-4|b|>0 n'est pas nécessaire.
Pour  |a|^2=4|b|, compte tenu de la condition des arguments, on aura a^2=4b, l'équation aura une racine double et (modulo la remarque suivante) les racines ont bien même argument.
2. Le cas b=0 me gêne beaucoup. L'équation correspondante a pour racines 0,\;a.
Peut-on dire que a a même argument que 0 ?
Si on est strict, 0 n'a pas d'argument ...
Si on convient que tout réel est un argument pour le complexe nul il faudrait a=0 aussi. Ce qui rendrait acceptable la condition sur les arguments de a^2,\;b ...

Bref je pense qu'il faudrait donner comme conditions :
b\neq0,\;|a|^2\geqslant4|b| (ce qui implique a\neq0) et l'égalité des arguments de a^2 et b.

Posté par
lafol Moderateurre : solution d'une équation du second degré à coeff complexes 25-09-17 à 08:48

C'est vrai que mon écriture de b ne traduit pas arg(b)=2arg(a) lorsque le module de b est nul.... j'ai manqué de rigueur, sur ce coup là. Pour le reste, j'avais mis des inégalités larges partout, présupposant peut-être à tort qu'elle avait été mise stricte par commodité de clavier....


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