Bonjour,

Les pivots dépendant de paramètres que tu as sur la diagonale sont et .
Tu dois donc discuter les cas ,   et .
Commençons par . Le système devient



Je te laisse poursuivre la discussion de ce système.

Bonjour,

Merci bien pour ce retour rapide.

Si je poursuis :
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pour b=0 et a=0, on obtiendrait :
x=1
z=-1
2z=0
Ce qui nous permet de dire que les résultats de z présentent une incohérence donc {S} pas de solutions pour ces valeurs de paramètres.
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pour b=0 et a=1, on obtiendrait :
x+z=1
0=-1
0=-1
Ce qui nous permet de dire que les résultats présentent une incohérence donc {S} pas de solutions pour ces valeurs de paramètres car 0 ne peut pas être égal à -1.
-------------------------------------------
pour b=0 et a=-2, on obtiendrait :
x-2z=1
z=-1/3
0=2
Ce qui nous permet de dire que les résultats présentent une incohérence donc {S} pas de solutions pour ces valeurs de paramètres car 0 ne peut pas être égal à 2.
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Si mes éléments ci-dessus sont justes les raisons qui nous amènent à dire que les équations n'admettent pas de solutions pour des valeurs définies de paramètres sont lorsque nous avons des résultats différents pour une inconnue sur différentes lignes ou si nous avons un résultat ou 0 serait égal à une valeur non nulle dans une ou plusieurs équations.

Merci d'avance,

Non, ce n'est pas comme ça que j'attendais la discussion. Je reviens au cas . On discute ce système, sans aller chercher des ou ou qui arrivent sans raison ! (Tu discuteras les cas et après).



Que fait-on ? On échelonne encore, en retirant de la dernière ligne fois la deuxième. On obtient le système équivalent :



La conclusion est claire : si , alors le système n'a aucune solution, quelle que soit la valeur de .

Maintenant, discute le système dans le cas .

Pour a=1 :
(1           b          1         |    1  )
(0         b-b        1        |    b-1  )
(0          0           0         |    b-1  )

On divise L3 par L2 :
(1           b          1         |    1  )
(0         b-b        1        |    b-1  )
(0          0           0         |    1  )
Le système n'a aucune solution pour a=1  quelque soit la valeur de b car en L3, on ne peut pas avoir 0=1.

Par rapport à mon dernier post, mon raisonnement est totalement faux ou pas ? j'ai compris que ma méthode n'était pas la bonne mais j'ai besoin de savoir si on doit à chaque fois échelonner au maximum lorsqu'on a les valeurs des paramètres.

Merci,

Diviser une ligne par une autre ? Où as-tu vu ça ????

Et tout de même, b-b, ça fait quoi ??? Et 1-a, pour a=1, ça fait 1 ???

Reprends cette discussion plus sérieusement !

Pour le a, c'est une erreur de recopie.
Pour les opérations élémentaires, on doit se limiter à permutation de lignes, multiplication par une constante et addition/soustraction par une autre ligne.
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Pour a=1 :
(1           b          1         |    1  )
(0         b-b        0        |    b-1  )
(0          0           0         |    b-1  )
<=>
(1           b          1         |    1  )
(0           0          0         |    b-1  )
(0           0          0         |    b-1  )

On voit que pour toutes les valeurs de b (sauf b=1), nous n'avons pas de solutions.

D'accord : si et , le système n'a pas de solution. Mais ça ne termine pas la discussion : que se passe-t-il si et ?

Pour a=1 et b=1 :

(1     1     1    |   1)
(0     0     0    |   0)
(0     0     0    |   0)

Du coup, x+y+z=1 donc on a une infinité de solutions qui peuvent amener ce résultat.
De plus, on dit que {S} a une infinité de solutions qui dépend de 2 paramètres car ce sont les valeurs données pour ces 2 paramètres qui amènent à cette équation finale.

J'ai peut être mal saisi cette notion, si j'ai sollicité de l'aide c'est que je suis en difficultés sur cette partie "interprétation" et que je veux bien saisir pour passer à autre chose.

Je vois 2 cas :
-soit on dit que ce sont les paramètres a et b qui nous amènent à l'équation x+y+z=1 donc on a une équation qui est donnée par rapport à 2 paramètres, définis dans notre cas pour a=1 et b=1,
ou
-on dit qu'on a une infinité de solutions qui dépend de 2 paramètres car les paramètres a et b sont situés sur 2 variables différents à savoir y et z,

Je suis d'accord de dire que ca dépend de 2 variables libres. Mon support emploie la notion de solution qui dépend de paramètres.
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Si on avait eu :
(1     ab     1    |   1)
(0     0     0    |   0)
(0     0     0    |   0)

pour a=1 et b=1, pour moi, on continuerait à dire infinité de solutions qui dépend de 2 paramètres ou de 2 variables libres.

-------------------------------------------
Si on avait eu :
(1     a     1    |   1)
(0     0     0    |   0)
(0     0     0    |   0)

pour a=1, on continuerait à dire infinité de solutions qui dépend d'un seul paramètre ou de 2 variables libres.

Je t'ai expliqué ce qu'il fallait comprendre dans la phrase "solutions dépendant de deux paramètres". Encore une fois, ça veut dire qu'on a deux degrés de liberté pour choisir une solution parmi l'ensemble des toutes les solutions, ou techniquement que l'espace  des solutions est un espace affine de dimension 2.
Ça n'a rien à voir avec les paramètres a et b, qui dans la situation qui nous occupe sont fixés à a=1 et b=1.

Ta phrase

ok, je vous remercie pour les explications (et pour la patience).
bonne journée à vous

Il te reste à discuter le cas .  

pour a=-2 :
(1        b     -2    |   1)
(0     -3b     3    |   b-1)
(0        0       0    |   b+2)

Donc pour a=-2, {S} n' a aucune solutions sauf dans le cas ou b=-2.

Et dans le cas et , que se passe-t-il ?

pour a=-2 et b=-2 :

(1       -2     -2    |   1)
(0        6       3     |   -3)
(0        0       0     |   0)

N'ayant plus de pivot sur la dernière ligne, on ne peut plus échelonner davantage en remontant. On réduit L2 par 1/6.

(1       -2       -2       |   1)
(0        1       1/3     |   -1/3)
(0        0          0       |   0)

On obtient les équations suivantes :

x - 2y - 2z = 1
y + 1/3z = -1/3

On a donc une infinité de solutions de la forme:
{S=( 1/3 + 4/3z  ;   -1/3 - 1/3z    ;    z    ) z }

N'ayant plus de pivot sur la dernière ligne, on ne peut plus réduire davantage en remontant*.

Bojour,

C'est presque ça. Sauf que tu sembles enclin à de belles erreurs d'étourderie : 3 divisé par 6, ça ne fait pas 1/3 !

En tout cas, pour  , on a une infinité de solutions dépendant d'un paramètre, ou plutôt d'une variable libre. Tu as choisi comme variable libre.

Merci pour ce retour et pour votre temps. Je m'arrête là et j'ai bien pris note que j'ai d'autres problèmes que la méthode à régler.