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Solutions de x^(1 / x²) 4^(1 / x) - x = 0

Posté par
Schwarzwolf 04-10-17 à 21:14

Bonjour/Bonsoir,

J'aimerais trouver les solutions d'une équation. Seul problème, je ne sais absolument pas comment procéder. Je n'ai même aucune idée de la famille de fonctions à laquelle appartient cette équation.

x1 / x²41 / x - x = 0

Je sais ( entre autres ) grâce à sa représentation graphique que cette équation admet deux solutions de x sur f(x) = 0. Je sais aussi que ces solutions sont x1 = 0 et x22.2
Seulement, j'aimerais connaître la valeur exacte de ces solutions.

Merci d'avance !

Posté par
alb12re : Solutions de x^(1 / x²) 4^(1 / x) - x = 0 04-10-17 à 21:24

salut,
0 n'est pas solution

Posté par
alb12re : Solutions de x^(1 / x²) 4^(1 / x) - x = 0 04-10-17 à 21:31

voici ce qu'en pense Xcas pour firefox

Posté par
Schwarzwolfre : Solutions de x^(1 / x²) 4^(1 / x) - x = 0 05-10-17 à 01:16

Effectivement ! Merci de l'avoir fait remarqué. Je me suis emmêlé les pinceaux !
Ce serait plutôt x10,45 et x22.2
En outre, Xcas est très pratique (Je ne connaissais pas). Je me demande tout de même s'il y a une option sur le site qui permet de détailler la démonstration qui permet d'aboutir au résultat. Ce serait d'une grande aide !

Merci d'avance !

Posté par
alb12re : Solutions de x^(1 / x²) 4^(1 / x) - x = 0 05-10-17 à 08:18

le mieux serait d'installer Xcas ce serait beaucop plus performant
Mais c'est l'utilisateur qui decide des commandes à utiliser et Xcas ne fera pas la demonstration !

Posté par
carpediemre : Solutions de x^(1 / x²) 4^(1 / x) - x = 0 05-10-17 à 10:14

salut

x^{1/x^2} 4^{1/x} - x = 0 \iff x 4^x = x^{x^2} \iff 4^x = x^{x^2 - 1}

équation qui reste de toute façon toujours transcendante ...

Posté par
Schwarzwolfre : Solutions de x^(1 / x²) 4^(1 / x) - x = 0 05-10-17 à 23:05

Merci pour vos réponses.

J'ai remarqué qu'en introduisant une variable a tel que f(x) = a (x(1 / x²) 4(1 / x)-x)
Peu importe la valeur de a, la fonction obtenue admet les mêmes solutions que celle de base.
Du coup, ma question est la suivante : Est-il possible d'exprimer a de sorte à simplifier l'expression de base ? Ce n'est qu'une supposition, bien sûr. J'ai fait quelques essaies où j'ai réussi à obtenir des expressions assez simplifiées, mais je n'ai pas, pour autant, réussi à obtenir quelque chose de résoluble algébriquement.

Merci d'avance !

Posté par
carpediemre : Solutions de x^(1 / x²) 4^(1 / x) - x = 0 06-10-17 à 09:03

résoudre l'équation f(x) = 0 ou af(x) = 0 c'est la même chose si a <> 0 ...

Posté par
Razesre : Solutions de x^(1 / x²) 4^(1 / x) - x = 0 03-11-17 à 17:30

Bonjour,

On essais de pousser un peu la résolution.

Pour x\in\mathbb{R}^{*+}
x^{1/x^2} 4^{1/x} - x = 0 \iff x 4^x = x^{x^2} \iff 4^x = x^{x^2 - 1}\\ \\ \Leftrightarrow x\ln 4=(x^2 - 1)\ln x\Leftrightarrow \ln x-\dfrac{x\ln 4}{x^2 - 1}=0

Ceci revient à déterminer les racines de f(x)=0; avec:  f(x)= \ln x-\dfrac{x\ln 4}{x^2 - 1}

Nous avons:  f\left (\frac{1}{x}\right ) =-\ln x-\frac{\frac{1}{x}\ln 4}{\left ( \frac{1}{x} \right )^2 - 1}=-f(x); donc si x est solution alors \dfrac{1}{x} est solution aussi.

D_f=\mathbb{R}^{*+}-\{1\}
Donc ceci revient à étudier la fonction dans ]0,1[ ou ]1,+\intfy[

Choisissons l'intervalle d'étude ]1,+\intfy[

f'(x) =\dfrac{1}{x}-\dfrac{x^2 - 1-2x^{2}}{(x^2 - 1)^{2}}\ln 4=\dfrac{1}{x}+\dfrac{x^2 +1}{(x^2 - 1)^{2}}\ln 4

\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=-\infty   et   \lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty

f(2)=\ln 2-\frac{2\ln 4}{2^2 - 1}=\ln 2-\frac{4\ln 2}{3}=-\frac{1}{3}\ln 2< 0

f(4)=\ln 4-\frac{4\ln 4}{4^2 - 1}=\ln 4-\frac{4\ln 4}{15}=\frac{11}{15}\ln 4=\frac{22}{15}\ln 2> 0

...

Posté par
alb12re : Solutions de x^(1 / x²) 4^(1 / x) - x = 0 03-11-17 à 18:29

faut vraiment aimer le latex ...

Posté par
carpediemre : Solutions de x^(1 / x²) 4^(1 / x) - x = 0 03-11-17 à 18:36

oui

on peut aussi considérer la fonction g(x) = \dfrac {x^2 - 1} x \ln x sur ]0, +oo[

et on cherche à résoudre l'équation g(x) = ln 4

on a toujours g(1/x) = -g(x) donc on étudie la fonction sur l'intervalle ]0, 1] ou [1, +oo[

et ça a l'avantage de ne pas se traîner ce coefficient ln 4 dans les calculs ...


x^2g'(x) = x^2 - 1 + (x^2 + 1)\ln x qui est positif sur [1, +oo[

donc g est strictement croissante sur [1, +oo[ avec g(1) = 0 qui est donc le minimum de g

et puisque \lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty le TVI permet de conclure ...

Posté par
Razesre : Solutions de x^(1 / x²) 4^(1 / x) - x = 0 03-11-17 à 23:19

alb12 @ 03-11-2017 à 18:29

faut vraiment aimer le latex ...
Effectivement, depuis 30ans.

@carpediem,
J'avais oublié de dire que  f'(x)>0, donc f est strictement croissante.

f'(x) =\dfrac{1}{x}+\dfrac{x^2 +1}{(x^2 - 1)^{2}}\ln 4>0

j'avais laissé à Schwarzwolf la conclusion avec la TVI.

Il peut ainsi encadrer la valeur de la racine x_0 par dichotomie et par la suite la seconde racine   1/x_0

Posté par
alainpaulre : Solutions de x^(1 / x²) 4^(1 / x) - x = 0 07-11-17 à 18:58

Bonsoir,

L'équation  peut s'écrire plus simplement:

4=x^{(x-\frac{1}{x})}  

. . .


Alain

Posté par
alainpaulre : Solutions de x^(1 / x²) 4^(1 / x) - x = 0 08-11-17 à 19:19

Bon,


4=x^{x-\frac{1}{x}}  ,pour x>1  la fonction est strictement croissante et
nous pouvons utiliser la dichotomie.

J'ai trouvé x 2,205 .

Quelle est la seconde racine?

Alain

Posté par
carpediemre : Solutions de x^(1 / x²) 4^(1 / x) - x = 0 08-11-17 à 21:00

cela est dit plus haut ...

Posté par
alainpaulre : Solutions de x^(1 / x²) 4^(1 / x) - x = 0 09-11-17 à 10:59

Bonjour l'ami,

Je suis très distrait,je n'avais pas remarqué que la fonction x^{x-\frac{1}{x}}

vérifiait la relation f(x)=f(\frac{1}{x}) ,l'exposant m'a induit en erreur.


Amicalement,

Alain

Posté par
carpediemre : Solutions de x^(1 / x²) 4^(1 / x) - x = 0 09-11-17 à 12:24

de rien ...

REM : ta formule est guère intéressante si on choisit d'étudier les variations et donc de dériver (nécessité de passer par une exponentielle et un logarithme) ...


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