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sommabilité

Posté par
Nyadis 07-03-20 à 13:44

bonjour
j'aimerais demontrer que les familles suivantes sont sommable

Um,n= 1/nαmβ
avec α,β>1

et

Um,n=1/mn avec m,n>1

j'ai essayé de montrer que pour une somme partielle quelconque je peux toujours la majoré.
mais dans ces cas j'arrive pas a trouver les astuces pour les majorer....

merci de vos idee

Posté par
XZ19re : sommabilité 07-03-20 à 13:57

Pour la 1)  

\sum_{n=1}^p  \sum_{m=1}^q  \dfrac{1}{m^a  n^b}=\sum_{n=1}^p \dfrac{1}{n^b  }   (  \sum_{m=1}^q  \dfrac{1}{m^a  })  
\\ \leq \sum_{n=1}^p \dfrac{1}{n^b  }    (\sum_{m=1}^\infty  \dfrac{1}{m^a })    

= (\sum_{m=1}^\infty  \dfrac{1}{m^a })( \sum_{n=1}^p \dfrac{1}{n^b  }  )
\\ \leq   (\sum_{m=1}^\infty  \dfrac{1}{m^a })( \sum_{n=1}^\infty  \dfrac{1}{n^b  }  )

les deux dernières séries étant convergentes car a,b>1

Posté par
carpediemre : sommabilité 07-03-20 à 15:27

salut

pour faire plus simple que XZ19 si a et b sont supérieur strictement à 1 alors :

\dfrac 1 {n^a m^b} \le \dfrac 1 {n^a} ...

Posté par
XZ19re : sommabilité 07-03-20 à 16:31

Bjr  
@Carpediem  c'est gentil de faire plus simple mais franchement ta majoration

\dfrac{1}{n^a m^b}\leq  \dfrac{1}{n^a}... ,   et bien  je vois  mal  par quoi tu peux majorer,  par quelque chose de mieux sauf  à remplacer b  par + petit (mais  toujours + grand que 1. )  Si ton idée est juste, il faudrait alors en dire un peu plus.

P.S :  Mais pour défendre ce que j'ai fait,  je pense tout de même au calcul de la somme de la série qui devrait se poser naturellement.

Posté par
carpediemre : sommabilité 07-03-20 à 17:03

ben on sait que la somme des 1/n^a converge si a > 1 ... donc en sommant des nombres encore plus petits ça me semble suffisant ...

Posté par
Nyadisre : sommabilité 07-03-20 à 17:09

merci beaucoup

Posté par
Nyadisre : sommabilité 07-03-20 à 17:11

je pense que en utilisant n≥2 on a egalement un bon resultat sur la 2eme expressions en passant par encadrement

Posté par
XZ19re : sommabilité 07-03-20 à 19:30

carpediem @ 07-03-2020 à 17:03

ben on sait que la somme des 1/n^a converge si a > 1 ... donc en sommant des nombres encore plus petits ça me semble suffisant ...


Je ne comprends pas du tout. A  mon avis tu fais erreur.

Posté par
Foxdevilre : sommabilité 07-03-20 à 19:50

Hello,

carpediem @ 07-03-2020 à 15:27

pour faire plus simple que XZ19 si a et b sont supérieur strictement à 1 alors :

\dfrac 1 {n^a m^b} \le \dfrac 1 {n^a} ...

En fait la majoration est trop brutale. N'oublie pas que tu sommes sur \mathbb{N}^2

Posté par
carpediemre : sommabilité 07-03-20 à 20:06

\sum_{m, n} \dfrac 1 {m^x n^y} = \sum_{m, n = 1} \dfrac 1 {m^x} + \dfrac 1 {2^y} \sum_m \dfrac 1 {m^x} \le \left( 1 + \dfrac 1 {2^y} \right) \sum_m \dfrac 1 {m^x}

Posté par
XZ19re : sommabilité 07-03-20 à 20:32

Rebonjour
Je ne comprends rien  à ce que tu as écris mais en tout cas  ta majoration est fausse.

  La majoration que j'ai donné est en fait la somme de la série, c'est à dire que j'ai donné la meilleure majoration possible.   Dans  la cas  où  a=b=2   la somme  est  
\dfrac{\pi^ 4}{36}\approx 2.70

Mais la   majoration que tu  donnes est
(1+1/2^2) \pi^2/6=5/4\pi^2/6  \approx  2.05  
elle est donc fausse.

Posté par
Foxdevilre : sommabilité 07-03-20 à 21:06

Moi non plus je n'ai pas compris la majoration...

Posté par
carpediemre : sommabilité 07-03-20 à 21:56

oui pardon je me suis totalement fourvoyé !!!

ma majoration oublie effectivement bien des termes et j'ai écrit n'importe quoi ...

merci de votre vigilance

Posté par
Nyadisre : sommabilité 07-03-20 à 22:45

XZ19 @ 07-03-2020 à 13:57

Pour la 1)  

\sum_{n=1}^p  \sum_{m=1}^q  \dfrac{1}{m^a  n^b}=\sum_{n=1}^p \dfrac{1}{n^b  }   (  \sum_{m=1}^q  \dfrac{1}{m^a  })  
\\ \leq \sum_{n=1}^p \dfrac{1}{n^b  }    (\sum_{m=1}^\infty  \dfrac{1}{m^a })    

= (\sum_{m=1}^\infty  \dfrac{1}{m^a })( \sum_{n=1}^p \dfrac{1}{n^b  }  )
\\ \leq   (\sum_{m=1}^\infty  \dfrac{1}{m^a })( \sum_{n=1}^\infty  \dfrac{1}{n^b  }  )

les deux dernières séries étant convergentes car a,b>1



merci.
mais comment tu justifies ta premiere egalité. ?

Posté par
Nyadisre : sommabilité 07-03-20 à 22:46

Nyadis @ 07-03-2020 à 22:45

XZ19 @ 07-03-2020 à 13:57

Pour la 1)  

\sum_{n=1}^p  \sum_{m=1}^q  \dfrac{1}{m^a  n^b}=\sum_{n=1}^p \dfrac{1}{n^b  }   (  \sum_{m=1}^q  \dfrac{1}{m^a  })  
\\ \leq \sum_{n=1}^p \dfrac{1}{n^b  }    (\sum_{m=1}^\infty  \dfrac{1}{m^a })    

= (\sum_{m=1}^\infty  \dfrac{1}{m^a })( \sum_{n=1}^p \dfrac{1}{n^b  }  )
\\ \leq   (\sum_{m=1}^\infty  \dfrac{1}{m^a })( \sum_{n=1}^\infty  \dfrac{1}{n^b  }  )

les deux dernières séries étant convergentes car a,b>1



merci.
mais comment tu justifies ta premiere egalité. ?


oups desole .
merci c'est tres juste

Posté par
Foxdevilre : sommabilité 08-03-20 à 01:32

[quote][merci de votre vigilance/quote]


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