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Sommation d'Abel d'une série lacunaire
Bonjour à tous,
J'aurais besoin d'aide car j'essaie de calculer la sommation d'Abel d'une certaine suite, mais je ne sais pas comment m'y prendre.
L'idée serait donc d'évaluer , qui a bien 1 pour rayon de convergence. Il semblerait que cette limite existe et soit finie.
Passer par une expression explicite de la fonction (ce qui me paraît très peu probable)? Équation fonctionnelle (voir différentielle)? 
Merci pour l'aide!
Et si au passage ce calcul passe par une méthode qui est généralisable à d'autres séries lacunaires, quelques précisions ne seraient pas de trop! 
Regarder ce qu'il se passe en x=1, cela suffit pour conclure quant à la convergence.
Tu veux une expression explicite ensuite c'est ca?
En multipliant par x^2 tu peux pas obtenir une équation fonctionnelle utilisable? (j'ai pas testé).
La série est divergente si on remplace x par 1, mais à priori cela ne veut pas dire que la fonction n'admet pas de limite quand x tend vers 1...
En multipliant par x^2 tu peux pas obtenir une équation fonctionnelle utilisable? (j'ai pas testé).
Alors je m'en suis rendu compte juste après le post, mais effectivement si on nomme f cette fonction alors on a, sur ]-1;1[, la relation fonctionnelle:
Donc si la limite existe, elle vaut 1/2. Mais existe-t-elle?
Tu veux une expression explicite ensuite c'est ca?
Franchement, vu sa tête ça me paraît assez peu probable d'y arriver. Je me contenterais de manipulations qui permettent de trancher sur l'existence ou non de cette limite du coup.
D'ailleurs la même équation fonctionnelle, garantit que l'existence de la limite en 1 implique l'existence de la limite en -1 qui vaudra alors -3/2...
J'avais mal lu (ou mal compris )ta question en fait, je croyais que tu te posais la question du rayon de convergence et d'obtenir une expression explicite, pas de calculer la limite en 1.
Oui je l'ai un peu mal exprimé, mais j'avais déjà trouvé le rayon de convergence (simple application de la formule de Cauchy-Hadamard)...
On n'a pas vraiment eu le fin mot de l'histoire du coup... Si on te suggère de faire une transformation d'Abel, peux-ton la voir ?
Bonsoir !
N'aurait-on pas une série alternée avec la condition suffisante habituelle pour ?
Donc et, par limite en 1, il semble que
n'ait pas de limite.
Bonsoir,
@luzak : et tu fais tendre quoi vers quoi ? dans quel ordre ?
ça me semble être la difficulté de l'exercice, cette convergence non uniforme sur le disque...
Bonjour,
c'est un exercice difficile. On a bien mais
n'existe pas : la fonction fait des oscillations autour de
.
On en trouve une démonstration page 77 du livre de G. H. Hardy, Divergent series, que l'on peut télécharger sur internet.
@Jandri : merci pour ta vigilance et ta référence. Ca me rassure de pouvoir encore identifier lorsqu'un problème est délicat
On en trouve une démonstration page 77 du livre de G. H. Hardy, Divergent series, que l'on peut télécharger sur internet
.Alors je up le topic car n fait non tout n'est pas clair dans la démonstration et je ne suis pas sûr de bien comprendre certains des termes anglais.
(Je rappelle la référence: Hardy, Divergent series p.77 - 4.10)
Déjà:
1) D'où il sort la formule de la Théorie des fonctions elliptiques? (4.10.1)
2) Ensuite, je ne comprends pas très bien juste après l'équation fonctionnelle vérifiée par . On en déduit que "
is therefore a periodic function of loglog(1/x) with period 2loga"
. Je ne suis pas sûr de bien saisir ce que veulent vraiment dire ces termes en anglais.
3) C'est pareil pour la suite. "plainly not constant" => "oscillates between finite limits of indetermination"....?
Je comprends l'idée générale, mais j'aimerais bien saisir cette preuve dans le détail...
La démonstration de Hardy est un peu imprécise mais elle est correcte.
1) la formule de la Théorie des fonctions elliptiques sert pour montrer
2) en posant on obtient
donc
a pour période
.
3) Si était une constante
alors on aurait
, d'où
.
Or un calcul numérique donne (pour ) :
et
.
Donc fait bien des oscillations.
Merci pour la réponse.
1) Oui c'est bien ce que j'avais compris en lisant. Comme elle m'intéresse aussi, je désirais également l'approfondir. Du coup, d'où vient la formule qu'il utilise?
2) Ok, très bien. Mais pourquoi de ?
3) En quoi le fait que soit non constante implique-t-elle qu'elle fait des oscillations?
1) Je ne suis pas du tout familier de la théorie des fonctions elliptiques et je ne connais pas cette formule.
2) est équivalent à
.
3) Comme est périodique et qu'elle n'est pas constante elle fait des oscillations et par suite
fait aussi des oscillations quand
tend vers
.
Ah ok, merci pour tes éclaircissement, je viens de comprendre!
En fait, on a . C'est ça qu'il veut dire par "fonction périodique de
". Dit autrement, une fonction périodique appliquée en
. La limite de
étant infinie, le seul moyen que
ait une limite en l'infini serait qu'elle soit constante (car périodique, de période non nulle). D'où ce qu'il appelle "oscillations"...et donc que
n'a pas de limite en 1 et fait des oscillations de l'amplitude de celles de
du coup (mais en mode hyper serré à gauche vers 1...enfin jme comprends
).
Bon, il faudrait peut être démontrer plus "rigoureusement" (même si ta remarque me va tout à fait) que les deux fonctions sont bien différentes.
C'est bien cela.
J'ai démontré que les fonctions sont bien différentes pour en calculant une valeur approchée de
et de
.
On peut le faire pour toute valeur numérique de mais cela ne démontre pas qu'il n'existe pas de valeur de
telle que
.
J'ai démontré que les fonctions sont bien différentes pour a=2 en calculant une valeur approchée de F(\frac12) et de \Phi(\frac12).
Il n'y a pas de problème pour calculer des valeurs approchées de ces deux fonctions à une précision donnée car pour on a des séries alternées qui vérifient les bonnes hypothèses et de plus la convergence est très rapide.
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