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Somme

Posté par
DJOUM 05-07-19 à 13:17

Bonjour s'il vous comment démontrer que: {\sum_{k=1}^{n}{\frac{k}{2\frac{k}{}}}}=2

Merci d'avance

Posté par
sigmabetare : Somme 05-07-19 à 13:35

Bonjour ;


Je crois que tu voulais écrire : \Sum_{k=1}^n (\dfrac{1}{2})^k = 2 .

Posté par
Glapion Moderateurre : Somme 05-07-19 à 13:56

Sauf que \Sum_{k=1}^{\infty} (\dfrac{1}{2})^k = 1 et pas 2.

mais \Sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{k}{2^k} = 2 est juste donc c'est plutôt ça l'énoncé.
(et c'est à la limite que ça vaut 2, pas avec n)

Posté par
Glapion Moderateurre : Somme 05-07-19 à 14:06

Pour trouver la solution, tu pars de la formule qui donne \Sum_{k=1}^{n}x^k
(somme des termes d'une suite géométrique), tu dérives des deux cotés, tu multiplies par x des deux cotés (pour recréer la somme des k xk), tu fais x = 1/2 puis tu fais tendre n vers l'infini.

Posté par
sigmabetare : Somme 05-07-19 à 14:21

Je m'excuse : j'ai fait une grosse erreur .

Pour l'exercice , essaie de considérer la fonction définie sur ]- 1 ; 1[ par f(x) = \Sum_{k=1}^{\infty}x^k , puis calcule f'(x) .

Posté par
carpediemre : Somme 05-07-19 à 16:31

salut

je pose s(n) = \sum_n^{+\infty} \dfrac 1 {2^k}

sachant que :

1 = 1
2 = 1 + 1
3 = 1 + 1 + 1
...
k = 1 + 1 + ... + 1 (k termes 1)

\sum_1^{+\infty} \dfrac k {2^k} = s(1) + s(2) + s(3) + ... = \sum_1^{+\infty} s(k) = \sum_1^{+\infty} \dfrac 1 {2^k} s(0) = s(0) \sum_1^{+\infty} \dfrac 1 {2^k} = 2 \times 1



pas besoin de fonction et de dérivée (peut-on dérivée une série infinie ?) mais au lycée uniquement des suites géométriques ...

Posté par
DJOUMre : Somme 05-07-19 à 19:28

Salut à vous
S'il vous plait carpediem soyez plus clair car je ne comprends vraiment pas votre méthode et en plus je constate que la formule d'une autre somme intervient dans vos calculs.

Posté par
carpediemre : Somme 05-07-19 à 20:10

tu n'as qu'une seule somme qui intervient : la somme des termes de la suite géométrique de raison 1/2 ... mais qui commence ... à différentes valeurs du rang ...

maintenant il suffit d'écrire les choses pour comprendre et apprendre ... et cela est ton travail ...

Posté par
carpediemre : Somme 05-07-19 à 20:12

carpediem @ 05-07-2019 à 16:31

je pose s(n) = \sum_n^{+\infty} \dfrac 1 {2^k}

sachant que :

1 = 1
2 = 1 + 1
3 = 1 + 1 + 1
...
k = 1 + 1 + ... + 1 (k termes 1)

\sum_1^{+\infty} \dfrac k {2^k} = s(1) + s(2) + s(3) + ... = \sum_1^{+\infty} s(k) = \sum_1^{+\infty} \dfrac 1 {2^k} s(0) = s(0) \sum_1^{+\infty} \dfrac 1 {2^k} {\red = s(0) \times s(1) } = 2 \times 1

Posté par
Glapion Moderateurre : Somme 06-07-19 à 12:14

Si tu trouves la solution de carpediem trop difficile à comprendre, tu peux toujours te rabattre sur la méthode standard. Elle est classique et parfaitement licite, (on ne dérive pas de série infinie), on écrit simplement :

\sum_{k=0}^n x^k = \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}

on dérive des deux cotés,
on multiplie par x les deux cotés,
on fait x = 1/2
et on fait tendre n vers l'infini.

Si tu sais dériver un quotient et calculer une limite (qui n'est pas indéterminée), tu as de bonnes chances d'aboutir.

Posté par
carpediemre : Somme 06-07-19 à 12:51

maintenant je suis d'accord ...

pour ma méthode il suffit d'écrire en extension les choses et tout est clair ...

\sum_1^{+\infty} \dfrac k {2^k} = \dfrac 1 {2^1} + \dfrac 2 {2^2} + \dfrac 3 {2^3} + ... + + \dfrac k {2^k} + ... = \dfrac 1 {2^1} + (1 + 1)} \dfrac 1 {2^2} + (1 + 1 + 1) \dfrac 1 {2^3} + ... + \underset{k  termes  1}{(1 + 1 + ... + 1)} \dfrac 1 {2^k} + ... =

Posté par
DJOUMre : Somme 06-07-19 à 12:53

Merci Glapion je comprends très bien votre méthode

Posté par
DJOUMre : Somme 06-07-19 à 12:58

Merci à vous Carpediem ça n'a été facile pour moi de constater ça, je comprends très bien maintenant

Posté par
carpediemre : Somme 06-07-19 à 12:59

de rien


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