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Niveau Maths sup
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Somme

Posté par Profil etudiantilois 14-07-19 à 18:36

Bonjour,

Je dois calculer la somme des n premiers carrés d'entiers naturels impairs.

Le corrigé donne :

de k=0 à n-1 de (2k+1)^2 = de k=0 à n-1 de (4k^2 +4k + 1) = 4 de k=0 à n-1 de k^2 + 4 de k=0 à n-1 de k + de k=0 à n-1 de 1.

Ensuite pour la somme des k^2, le corrigé utilise la formule de la somme des k^2, soit n(n+1)(2n+1)/6 mais il remplace n par n-1 !! Pourquoi ?? Car dans la formule du cours, c'est pour la somme de n termes, de 1 à n, et ici on a de 0 à n-1, donc n termes aussi... Donc je ne comprends pas !

Merci par avance pour votre explication...

Posté par
ThierryPoma
re : Somme 14-07-19 à 18:43

Bonsoir,

Nous avons

\sum_{k=0}^{n-1}\cdots

et non

\sum_{k=0}^{n}\cdots

Posté par
ThierryPoma
re : Somme 14-07-19 à 18:45

Remarquons aussi que

\sum_{k=0}^{n-1}k^2=\sum_{k=1}^{n-1}k^2

Posté par Profil etudiantiloisre : Somme 14-07-19 à 19:27

Merci beaucoup pour votre réponse.

En fait, mon raisonnement était le suivant : comme il y a le même nombre de termes pour une somme de k=0 à n-1 et de k=1 à n, alors on pourrait écrire :

de k=1 à n de k^2 = de k=0 à n-1 de k^2

Mais alors ce raisonnement serait faux ?

Si oui, je ne vois pas trop pourquoi...

Merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
carpediem
re : Somme 14-07-19 à 20:58

etudiantilois @ 14-07-2019 à 19:27

Merci beaucoup pour votre réponse.

En fait, mon raisonnement était le suivant : comme il y a le même nombre de termes pour une somme de k=0 à n-1 et de k=1 à n, alors on pourrait écrire :alors il faudrait que fn - 1) = f(n)

de k=1 à n de k^2 = de k=0 à n-1 de k^2 ici f(k) = k^2 ... où est passé le terme k = n de la première somme ?

Mais alors ce raisonnement serait faux ? ben oui ...

Si oui, je ne vois pas trop pourquoi...

Merci beaucoup pour votre aide !

Posté par Profil Ramanujanre : Somme 14-07-19 à 21:32

\sum_{k=1}^n k^2 = \sum_{k=0}^{n-1} (j+1)^2 en posant le changement d'indice j=k-1

Posté par
lafol Moderateur
re : Somme 14-07-19 à 21:43

Bonjour

etudiantilois @ 14-07-2019 à 19:27

Merci beaucoup pour votre réponse.

En fait, mon raisonnement était le suivant : comme il y a le même nombre de termes pour une somme de k=0 à n-1 et de k=1 à n, alors on pourrait écrire :

de k=1 à n de k^2 = de k=0 à n-1 de k^2

Mais alors ce raisonnement serait faux ?

Si oui, je ne vois pas trop pourquoi...

Merci beaucoup pour votre aide !


pour toi 0²+ 1² + 2² + 3² = 1²+ 2² + 3² + 4², alors ? ben quoi, il y a quatre termes dans les deux sommes ?



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