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Somme

Posté par
flight
21-03-20 à 10:57

Bonjour

histoire de s'occuper un peu , calculez la somme suivante

E (2k   +  1)    pour k compris entre 0 et n

Posté par
lake
re : Somme 21-03-20 à 11:13

Bonjour,

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Posté par
flight
re : Somme 21-03-20 à 13:44

Salut Lake , hélas cela ne colle pas  si n =2   E(2*2*2)= E(4)=4
E(2*k   + 1)= 7      pour k compris entre 0 et 2

Posté par
lake
re : Somme 21-03-20 à 14:25

Effectivement.

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Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Somme 21-03-20 à 14:35

Bonjour,
C'est bien \sum_{k=0}^{n}{E(2\sqrt{k+1})} ?

Posté par
lake
re : Somme 21-03-20 à 14:43

Bonjour Sylvieg,

Je ne l'avais pas lu comme ça.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Somme 21-03-20 à 14:57

Bonjour lake,

Tu as lu \sum_{k=0}^{n}{E(1+2\sqrt{k})} ?

Pour n=2, on trouve 7 avec les 2 lectures

Posté par
lake
re : Somme 21-03-20 à 15:03

Eh oui! Et 7 dans les deux cas. Je crois que je vais laisser tomber ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Somme 21-03-20 à 15:26

Mais avec \; \sum_{k=0}^{n}{E(1+2\sqrt{k})} , ce 1 hors de la racine n'a aucun intérêt. C'est trop facile de lui régler son compte en le sortant de la partie entière.
Le 1 dans la racine aussi, il suffit de faire k de 1 à n+1.

Mais attendons une réponse de flight avant de se décourager !

Posté par
flight
re : Somme 21-03-20 à 18:54

que penser vous de la suite suivante :

1     2       1      3      2      4     3     5     4      6      5     7     6     8     ....etc  

Posté par
flight
re : Somme 21-03-20 à 18:56

je veux dire par la  :

1   33   4    555    66   7777    .etc  

Posté par
flight
re : Somme 21-03-20 à 19:02

allez   je tend un peu plus la perche  

1*1 + 2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + ........   (pour les impairs)
1*4 + 2*6 + 3*8 + 4*10 + ..... (pour les pairs)

Posté par
jandri Correcteur
re : Somme 21-03-20 à 21:33

Bonjour,

je préfère poser S(n)=\sum_{k=1}^n\lfloor 2\sqrt k\rfloor .
On montre d'abord :
si p^2\leq k\leq p^2+p alors \lfloor 2\sqrt k\rfloor=2p
si p^2+p+1\leq k\leq p^2+2p alors \lfloor 2\sqrt k\rfloor=2p+1

On en déduit ensuite une formule pour S(n) en fonction de p=\lfloor \sqrt n\rfloor et q=n-p^2 :

 Cliquez pour afficher


Cela donne par exemple S(2020)=120094

Posté par
flight
re : Somme 22-03-20 à 21:34

salut  jandri , il y a aussi quelque chose qui cloche

prenons n =2   alors   p = 1   et  q = 1

S(2)= (8*1 - 3*1  - 5*1)/6 + 1*(2*1+1) + max(1,1)=  0 + 3 +1 = 4

or S(2)= E(2*0 +1) + E(2*1   +1 ) +  E(2*2   +1 )  = 1 + 3 + 3 = 7

Posté par
jandri Correcteur
re : Somme 22-03-20 à 21:51

Bonjour flight,

nous n'avons pas la même définition pour S(n).
Toi tu ajoutes les parties entières des 2\sqrt k +1 pour k de 0 à n, alors que moi j'ajoute les parties entières des 2\sqrt k pour k de 1 à n.
C'est pour cela que tu trouves n+1 de plus que moi.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Somme 23-03-20 à 07:37

Bonjour,
Pour clarifier vos réponses, je propose de noter différemment les sommes apparues :

F_n = \sum_{k=0}^{n}{E(2\sqrt{k+1})} , \; L_n = \sum_{k=0}^{n}{E(1+2\sqrt{k})} \; et \; J(n)=\sum_{k=1}^n {E (2\sqrt k)} .

F_{n} = J_{n+1} = J_{n} + E(2\sqrt{n+1}) \; et \; L_{n} = n+1 + J_{n}

C'est ma seule modeste contribution

Posté par
jandri Correcteur
re : Somme 23-03-20 à 08:57

Merci Sylvieg, c'est très clair avec tes notations.

Posté par
flight
re : Somme 23-03-20 à 12:19

salut   Jandri oui mais alors tu changes mon enoncé ?

Posté par
jandri Correcteur
re : Somme 23-03-20 à 14:16

Oui mais ton L_n\; et mon J_n sont reliés très simplement par la relation donnée par Sylvieg : L_{n} = n+1 + J_{n}
 \\

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Somme 27-03-20 à 11:47

Bonjour,
Ayant quelques disponibilités ces temps ci, je me suis replongée sur cette somme récalcitrante (pour moi en tous cas).
J'espérais trouver une formule plus simple que celle de jandri.
C'était trop présomptueux
Tout ce que je pourrais réussir à faire, c'est séparer en 2 cas, ce qui revient à son « max ».
Pour les courageux qui voudraient tenter le coup, voici quelques pistes.
J'utilise les notations et les formules non blankées du message du 21 mars à 21h33.
On peut trouver une formule pour n = (p+1)2-1 = p2+2p :

 Cliquez pour afficher

Calcul de J2020 en utilisant cette formule :
J2024 = 120450
J2020 = 120450 - 489 = 120094

Ou aussi : J_{2020} = J_{1935} + \sum_{k=1936}^{2020}{E(2\sqrt{k})}
J_{1935} =  112574

\sum_{k=1936}^{2020}{E(2\sqrt{k})} = \sum_{k=1936}^{1980}{E(2\sqrt{k})} + \sum_{k=1981}^{2020}{E(2\sqrt{k})} = 45\times 88 + 40\times 89

Posté par
flight
re : Somme 28-03-20 à 00:00

Salut  Sylvieg ,

Voici ma formule verifiée pour quelques valeurs de k .

S(p)=(2j²+3j+1)  + 2j.(E((4j²-1)/4) - E((2j-1)²/4))
la première somme va de j =0 à E((p-1)/2)  et la seconde somme de j = 0 à  E(p/2)
avec  n = E((p²-1)/4)    (j'ai trimé aussi pour trouver cette formule ..j'avais improvisé l'exo au depart et m'etait pas rendu compte immediatement que c'etait tendu comme affaire)
verification :
je veux calculer S(n=2)  je vais donc dabord trouver p tel que  2 = E((p²-1)/4)   , par un encadrement on y arrive assez facilement , ici  p = 3 , je passe ensuite à ma formule de depart et trouve  bien 7.
je veux calculer S(n=3)  , je vais donc dabord trouver p tel que  3 = E((p²-1)/4)   , par un encadrement on y arrive assez facilement , ici  p = 4 , je passe ensuite à ma formule de depart  et trouve  bien 11.
j'ai fais quelques essais juqu'a  S(n=12)  donc  p = 7 , qui me donne bien 66.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Somme 28-03-20 à 07:11

Bonjour flight
"c'etait tendu comme affaire"
Pour moi, calculer une expression qui contient un , c'est trouver une expression sans .
D'ailleurs, je pense que les énoncés scolaires devraient le préciser. "Calculer" étant trop vague.
Ce que tu proposes comme formule contient deux .
Le premier peut s'exprimer sans ; mais le second est plutôt plus compliqué que celui de l'énoncé.
Comment l'utiliser pour calculer S(2020) ?

Je vais essayer de donner des explications sur les formules blankées.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Somme 28-03-20 à 07:37

Deux formules d'abord :

\sum_{k=i^{2}}^{k = i^{2}+i}{E(2\sqrt{k})} = (i+1)\times (2i) \;

\; \sum_{k=i^{2}+i+1}^{k = i^{2}+2i}{E(2\sqrt{k})} = i\times (2i+1)

On ajoute les deux : \sum_{k=i^{2}}^{k =( i+1)^{2}-1}{E(2\sqrt{k})} = i(4i+3)

\sum_{k=1}^{k=(p+1)^{2}-1}{E(2\sqrt{k})} = \sum_{i=1}^{p}{i(4i+3)} = 4\sum_{i=1}^{p}{i^{2}} + 3\sum_{i=1}^{p}{i}

D'où J_{p^{2}+2p} = \dfrac{8p^{3}+21p^{2}+13p}{6}

Je m'aperçois d'une coquille dans l'indice de ma formule blankée.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Somme 28-03-20 à 17:17

Une remarque avant de traiter le cas général :
p2-1 = (p-1)2+2(p-1)
La formule de 7h37 donne J_{p^{2}-1} = \dfrac{8(p-1)^{3}+21(p-1)^{2}+13(p-1)}{6}
D'où J_{p^{2}-1} = \dfrac{8p^{3}-3p^{2}-5p}{6}
On reconnait le premier terme de la formule de jandri

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Somme 28-03-20 à 17:58

Suite et fin d'une démonstration de la formule de jandri.

Je reprends ses notations :
n *
p = E(n) ; donc p 1 \; et \; p2 n p2+2p .
q = n - p2 ; donc \; 0 q 2p . J'ajoute la convention \; J0 = 0 .

On a alors \; J_{n} = J_{p^{2}-1} + \sum_{k=p^{2}}^{p^{2}+q}{E(2\sqrt{k})}

1er cas : q p

J_{n} = J_{p^{2}-1} + \sum_{k=p^{2}}^{p^{2}+q}{2p} = J_{p^{2}-1} + 2p(q+1)

2nd cas : q q+1

 J_{n} = J_{p^{2}-1} + \sum_{k=p^{2}}^{p^{2}+p}{2p} + \sum_{k=p^{2}+p+1}^{p^{2}+q}{2p+1}

J_{n} =  J_{p^{2}-1} + \sum_{k=p^{2}}^{p^{2}+q}{2p} + \sum_{k=p^{2}+p+1}^{p^{2}+q}{1} =  J_{p^{2}-1} + 2p(q+1) + q-p

J_{n} = J_{p^{2}-1} + 2pq+p+q

Posté par
jandri Correcteur
re : Somme 29-03-20 à 17:20

Merci beaucoup à Sylvieg pour avoir détaillé aussi bien la démonstration de la formule que j'avais donnée en blanké.
Il y a seulement une toute petite coquille, c'est q\geq p+1 pour le second cas.

J'ai introduit \max(p,q) pour avoir une seule formule mais il y a bien deux cas à considérer selon la position de n par rapport aux nombres carrés p^2 et aux nombres oblongs p(p+1).

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Somme 29-03-20 à 19:42

De rien jandri, tu avais bien préparé le terrain. Mais ça m'a quand même donné du fil à retordre
Ce qui n'est pas désagréable par les temps qui courent.
Et une coquille s'est faufilée...

Je ne connaissais pas l'expression "nombres oblongs".
J'ai trouvé des synonymes, inconnus de moi aussi : nombre pronique ou nombre hétéromécique.

Posté par
jandri Correcteur
re : Somme 29-03-20 à 21:29

J'ai écrit nombre oblong car c'est le synonyme le plus simple à retenir pour cette sorte de nombres.
Ils ont quelques propriétés remarquables, par exemple :
un nombre oblong est le double d'un nombre triangulaire
un nombre oblong est la moyenne géométrique des deux carrés qui l'encadrent
un nombre carré est la moyenne arithmétique des deux nombres oblongs qui l'encadrent

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