Bonjour
histoire de s'occuper un peu , calculez la somme suivante
E (2k + 1) pour k compris entre 0 et n
Salut Lake , hélas cela ne colle pas si n =2 E(2*2*2)= E(4)=4
E(2*k + 1)= 7 pour k compris entre 0 et 2
Mais avec , ce 1 hors de la racine n'a aucun intérêt. C'est trop facile de lui régler son compte en le sortant de la partie entière.
Le 1 dans la racine aussi, il suffit de faire k de 1 à n+1.
Mais attendons une réponse de flight avant de se décourager !
allez je tend un peu plus la perche
1*1 + 2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + ........ (pour les impairs)
1*4 + 2*6 + 3*8 + 4*10 + ..... (pour les pairs)
Bonjour,
je préfère poser .
On montre d'abord :
si alors
si alors
On en déduit ensuite une formule pour en fonction de et :
salut jandri , il y a aussi quelque chose qui cloche
prenons n =2 alors p = 1 et q = 1
S(2)= (8*1 - 3*1 - 5*1)/6 + 1*(2*1+1) + max(1,1)= 0 + 3 +1 = 4
or S(2)= E(2*0 +1) + E(2*1 +1 ) + E(2*2 +1 ) = 1 + 3 + 3 = 7
Bonjour flight,
nous n'avons pas la même définition pour .
Toi tu ajoutes les parties entières des pour de 0 à , alors que moi j'ajoute les parties entières des pour de 1 à .
C'est pour cela que tu trouves de plus que moi.
Bonjour,
Pour clarifier vos réponses, je propose de noter différemment les sommes apparues :
, et .
et
C'est ma seule modeste contribution
Bonjour,
Ayant quelques disponibilités ces temps ci, je me suis replongée sur cette somme récalcitrante (pour moi en tous cas).
J'espérais trouver une formule plus simple que celle de jandri.
C'était trop présomptueux
Tout ce que je pourrais réussir à faire, c'est séparer en 2 cas, ce qui revient à son « max ».
Pour les courageux qui voudraient tenter le coup, voici quelques pistes.
J'utilise les notations et les formules non blankées du message du 21 mars à 21h33.
On peut trouver une formule pour n = (p+1)2-1 = p2+2p :
Salut Sylvieg ,
Voici ma formule verifiée pour quelques valeurs de k .
S(p)=(2j²+3j+1) + 2j.(E((4j²-1)/4) - E((2j-1)²/4))
la première somme va de j =0 à E((p-1)/2) et la seconde somme de j = 0 à E(p/2)
avec n = E((p²-1)/4) (j'ai trimé aussi pour trouver cette formule ..j'avais improvisé l'exo au depart et m'etait pas rendu compte immediatement que c'etait tendu comme affaire)
verification :
je veux calculer S(n=2) je vais donc dabord trouver p tel que 2 = E((p²-1)/4) , par un encadrement on y arrive assez facilement , ici p = 3 , je passe ensuite à ma formule de depart et trouve bien 7.
je veux calculer S(n=3) , je vais donc dabord trouver p tel que 3 = E((p²-1)/4) , par un encadrement on y arrive assez facilement , ici p = 4 , je passe ensuite à ma formule de depart et trouve bien 11.
j'ai fais quelques essais juqu'a S(n=12) donc p = 7 , qui me donne bien 66.
Bonjour flight
"c'etait tendu comme affaire"
Pour moi, calculer une expression qui contient un , c'est trouver une expression sans .
D'ailleurs, je pense que les énoncés scolaires devraient le préciser. "Calculer" étant trop vague.
Ce que tu proposes comme formule contient deux .
Le premier peut s'exprimer sans ; mais le second est plutôt plus compliqué que celui de l'énoncé.
Comment l'utiliser pour calculer S(2020) ?
Je vais essayer de donner des explications sur les formules blankées.
Deux formules d'abord :
On ajoute les deux :
D'où
Je m'aperçois d'une coquille dans l'indice de ma formule blankée.
Une remarque avant de traiter le cas général :
p2-1 = (p-1)2+2(p-1)
La formule de 7h37 donne
D'où
On reconnait le premier terme de la formule de jandri
Suite et fin d'une démonstration de la formule de jandri.
Je reprends ses notations :
n *
p = E(n) ; donc p 1 et p2 n p2+2p .
q = n - p2 ; donc 0 q 2p . J'ajoute la convention J0 = 0 .
On a alors
1er cas : q p
2nd cas : q q+1
Merci beaucoup à Sylvieg pour avoir détaillé aussi bien la démonstration de la formule que j'avais donnée en blanké.
Il y a seulement une toute petite coquille, c'est pour le second cas.
J'ai introduit pour avoir une seule formule mais il y a bien deux cas à considérer selon la position de par rapport aux nombres carrés et aux nombres oblongs .
De rien jandri, tu avais bien préparé le terrain. Mais ça m'a quand même donné du fil à retordre
Ce qui n'est pas désagréable par les temps qui courent.
Et une coquille s'est faufilée...
Je ne connaissais pas l'expression "nombres oblongs".
J'ai trouvé des synonymes, inconnus de moi aussi : nombre pronique ou nombre hétéromécique.
J'ai écrit nombre oblong car c'est le synonyme le plus simple à retenir pour cette sorte de nombres.
Ils ont quelques propriétés remarquables, par exemple :
un nombre oblong est le double d'un nombre triangulaire
un nombre oblong est la moyenne géométrique des deux carrés qui l'encadrent
un nombre carré est la moyenne arithmétique des deux nombres oblongs qui l'encadrent
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