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Somme

Posté par
flight 02-09-24 à 18:21

Bonsoir,
je vous propose le calcul de la somme suivante:
| x - i|, pour i compris entre 1 et n, et x dans

Posté par
Ulmierere : Somme 02-09-24 à 18:54

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Posté par
carpediemre : Somme 02-09-24 à 20:32

salut

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Posté par
LittleFoxre : Somme 03-09-24 à 10:18

@carpediem
Je pense qu'on peut simplifier la fin de tes calculs de cette façon:
s = \sum_1^n |x - i| = \sum_1^e (x - i)+  \sum_{e + 1}^n (i - x) = \sum_1^e (x - i)+  \sum_{1}^n (i - x) - \sum_1^e (i-x) = 2\sum_1^e (x - i)+  \sum_{1}^n (i - x) = 2ex-e(e+1)+\dfrac{n(n+1)}{2}-nx = x(2e-n)+\dfrac{n(n+1)}{2}-e(e+1) \\

Ça m'a l'air correct

Posté par
LittleFoxre : Somme 03-09-24 à 10:39

On peut rejoindre la version de Ulmiere en séparant la somme entre les parties [1,E(x)] et [E(x)+1,n]:

\sum_{i=1}^n|x-i| = \sum_{i=1}^{m}(x-i) + \sum_{i=m+1}^n(i-x) = \sum_{i=1}^{m}(x-i) + \sum_{i=1}^n(i-x) - \sum_{i=1}^{m}(i-x) = 2\sum_{i=1}^{m}(x-i) + \sum_{i=1}^n(i-x) = 2mx-m(m+1) + n(n+1)/2 - nx =  \frac{n(n+1)-2m(m+1)}{2} - x(n-2m)

Avec m = \begin{cases} 0 & \text{ si } x<1 \\ n & \text{ si } x>n \\ \lfloor x \rfloor & \text{ sinon } \end{cases}

Posté par
carpediemre : Somme 03-09-24 à 18:50

LittleFox : oui tu as raison c'est toujours plus simple de démarrer à 1 ce genre de somme

Posté par
thetapinch27re : Somme 05-09-24 à 19:13

Bonsoir,

Je viens de voir ce problème intéressant et je me permets d'ajouter une question :

Pour quelle(s) valeur(s) de x cette somme est-elle minimale ? Et que vaut ce minimum ?

Posté par
carpediemre : Somme 05-09-24 à 20:04

ça me semble difficile puisque s = x(2e - n) + \dfrac {n(n + 1)} 2 - e(e + 1) = x [2E(x) - n] + \dfrac {n(n + 1)} 2 - E(x) [E(x) + 1] me semble être un trinome du second degré en E(x) avec coefficient dominant négatif

donc je parlerai peut-être plutôt de maximum

bon en fait après un aperçu j'ai certainement dit des bêtises

s(e) = e(2x - e) - nx - e + \dfrac {n(n + 1)} 2 = e^2 +e(2f - n - 1) - nf + \dfrac 1 2 n(n - 1)

avec f = x - e \in [0, 1[

le minimum a donc lien en a =  \dfrac {n + 1} 2 - f

reste plus qu'à calculer s(a) ...



j'en profite aussi : LittleFoxsi tu pouvais voir là Dénombrement et nous sortir un de tes codes hyper efficaces dont tu as le secret

merci par avance

Posté par
thetapinch27re : Somme 05-09-24 à 21:53

Bonsoir,

Je confirme que des minima existent bien.
Voir par exemple un graphique pour n=10.

Somme

Somme

Posté par
thetapinch27re : Somme 05-09-24 à 22:01

Je précise que je me suis planté d'un indice dans les graphiques ci-dessus (i va de 1 à 10 et j'ai tracé pour i allant de 0 à 9) ... ce qui peut induire en erreur.

Si un modérateur veut bien remplacer les graphiques du message ci-dessus par celles que je donne ci-dessous (et éventuellement supprimer ce message-ci ensuite).

Merci

Somme

Somme

Posté par
LittleFoxre : Somme 06-09-24 à 09:49

La somme est minimale quand x est "au milieu" de [1, n]. C'est à dire x = \frac{n+1}{2} si n est impair et x \in [\frac{n}{2}, \frac{n}{2}+1] si n est pair.

Le minimum est donné par 2\sum_{i=1}^m(\frac{ n+1}{2} - i) = m(n+1) - m(m+1) = m(n-m)

Avec m = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor.

Posté par
thetapinch27re : Somme 06-09-24 à 17:02

Bonjour,

LittleFox c'est bien ça .
La raison pour laquelle je trouvais cette question intéressante est qu'elle peut être répondue sans recourir à l'expression "réduite" de cette somme.

En regroupant les termes de rang i et n+1-i on a:

Pour n pair : S=\sum_{i=1}^{n/2} |x-i| + |x-n+1-i|
Pour n impair : S=\sum_{i=1}^{(n-1)/2} |x-i| + |x-n+1-i| \quad + |x-(n+1)/2|

Puis par inégalité triangulaire : |x-i| + |x-n+1-i|\geq |n+1-2i| et on constate que le cas d'égalité est réalisé pour x\in[i,n+1-i].

Ainsi pour chaque terme de la somme du cas n pair, le cas d'égalité est atteint lorsque x\in\cap_{i}[i,n+1-i] = [n/2, n/2+1] donc la somme est bien minimale lorsque x\in[n/2, n/2+1]

Le même raisonnement appliqué au cas impair donne un intervalle de longueur 2, mais la prise en compte du terme hors de la somme permet de conclure que le min est réalisé que pour x=(n+1)/2.

Bonne fin de journée

Posté par
flightre : Somme 16-09-24 à 19:30

Merci pour vos participations , bravo à tous  !


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