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Déjà on prouve que la somme existe. Le terme général est équivalent à 1/k². On a à faire à des séries à termes positifs. 2 > 1 donc d'après la règle de Riemann, la série converge.

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Sinon pour la somme je trouve pi/2

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Je montre dans un 1er temps que :

Arctan(1/x)-Arctan(1/(x+1)) = arctan(1/(x²+x+1)) pour x > 0 en composant par tan de chaque coté qui est une application injective sur ]-pi/2 , pi/2[ avec tous nos éléments ici dans ]-pi/2 , pi/2[

Et je définis alors v(n) = arctan(1/n)

pour tout n >= 1 , u(n) = v(n)-v(n+1)

On somme tout ça de k = 0 à N est on obtient :

sum(k=0,N) u(k) = arctan(1) - arctan(1/(N+1)) + v(1) ---> pi/4 + pi/4 = pi/2

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Oui, le résultat est correct. Mais as-tu une jolie démo ? (Maple & Cie ça ne compte pas )

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Arg tu m'as devancé

Pour la démo c'est à peu près ce que j'ai

Bien joué donc