hum, ça passionne pas les foules on dirait

C'est peut-être parce que ta question n'est pas claire

On se demande ce qui tu veux.

As-tu au départ:
1²+2²+...+n² = n*(n+1)*(2n+1)/6.
et dois-tu trouver le P et le I ?

Ou le but est-il de démontrer la relation 1²+2²+...+n² = n*(n+1)*(2n+1)/6 de la manière la plus directe possible.

Ou bien encore autre chose ?  

merci pour la réponse.
en fait l'exercice commence par la démonstration de la somme des entiers de 1 a n (fait); le but de l'exercice est de trouver S=(2000)2-(1999)2+(1998)2-(1997)2+.....+(2)2-(1)2.
c'est à dire la somme des entiers pairs au carré- la somme des entiers impairs au carré pour n=2000. Pour ce faire, j'ai démontré que la somme des entiers de 1 à n = n*(n+1)/2. J'ai démontré que la somme des entiers carrés jusqu'à n était n*(n+1)(2n+1)/6 puis j'ai dit que la somme S= (impair,I)2+(pair,P)2
j'ai trouvé P (4 fois la somme de 1 à p ou p = n/2)ce qui m'a permis de trouver I et je crois avoir résolu mon problème.
Simplement, la longueur des démonstrations ajoutée à la longueur des développements et le résultat final me laisse penser qu'il y a peut-être une solution plus courte que la mienne qui tient sur 3 pages alors qu'il ne s'agit que d'un simple exercice. voila pour expliquer le fond de la question . d'avance merci

pour trouver autre chose, j'ai cherché du coté a2-b2 mais les développements sont encore plus longs et ça me parait encore plus lourd.

1²+2²+3²+...+n² = n(n+1)(2n+1)/6

2² + 4² + 6² + ... (2k)² = 2²(1 + 2² + 3² + ... k²)  avec k = n/2
=2².(k*(k+1)*(2k+1)/6) = (2/3) k*(k+1)*(2k+1)

n = 2000 -> k = 1000 -> P = (2/3)*1000*1001*2001 = 1335334000

S = n*(n+1)*(2n+1)/6 avec n = 2000
S = (1/6)(2000*2001*4001) = 2668667000

I = S - P = 2668667000 - 1335334000 = 1333333000

P - I = 1335334000 - 1333333000 = 2001000
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je suis bien d'accord avec la réponse qui est en fait n*(n+1)/2. pour n=2000 cela donne effectivement 200100

ma question portait sur le coté théorique, P-I=n*(n+1)/2 soit la somme des entiers de 1 à n ce qui est finalement surprenant vu que l'on travaille sur des carrés. le résultat est une chose mais la démonstration en général est parfois plus difficile et il y a des manières plus ou moins "élégantes" d'y arriver et je pensais qu'il y avait un théoreme ou des propriétés des nombres au carré qui explique que P-I soit égal à la somme des entiers de 1 à n.  En tout cas merci pour la réponse qui valide ce que j'ai fait

c vrai que je me crée des problemes la ouil n'y en a pas. l'exo porte sur 2000 et pas sur n. etfinalement 200100 est peut etre la seule réponse qu'on me demande; merci encore;

eureka g trouvé en fait c bien les identités remarquables a2-b2. on a (2000+1999)(2000-1999)+...
pour chaque terme à droite c 1 puisque les entiers sont consécutifs et si on fait l'addition on trouve (2000+1999)*1+(1998+1997)*1+....+1 cad n(n+1)/2
et en fait pas besoin de démontrer que la somme des carrés est n*(n+1)(2n+1)/6 je trouve que c plus propre

Bien vu, on peut aussi y arriver comme tu étais parti avant mais c'était un peu plus long.
Si on veut traiter le cas de n quelconque, il faut penser aussi au cas où n est impair.

Par la méthode préconisée au début, on a:

S = n(n+1)(2n+1)/6

a) Si n est pair
P = 2²+4²+...+n²
P=2²(1+2²+3²+...(n/2))²
P=[4(n/2).((n/2)+1)((2n/2)+1)]/6
P = n(n+1)(n+2)/6
S = P+I -> I = S-P
P-I = P-S+P = 2P-S
P-I = n(n+1)(2n+1)/6 - n(n+1)(n+2)/6
P-I = [n(n+1)/6].(2n+4-2n-1)
P-I = n(n+1)/2
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a) Si n est impair
On "oublie" le dernier terme
Donc n devient n-1
Avec le dernier terme "oublié", on a donc directement:
P-I' = (n-1).n/2
P-I' = n(n-1)/2
On remet alors le terme "oublié". (I = I'+n)
->
P-I+n = n(n-1)/2
P-I = n(n-1)/2 - n
P-I = n(n-1-2n)/2
P-I = -n(n+1)/2
------
Et c'est fini.

Si n est pair, on a:  P-I = n(n+1)/2
Si n est impair, on a:  P-I = -n(n+1)/2
------
Dans le cas de l'exercice, avec n = 2000 (donc pair)
P-I = 2000*2001/2 = 2001000

merci ça me plait encore mieux