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somme d'idéaux maximaux

Posté par
LERAOUL 02-08-21 à 16:04

Salut.

Soit A un anneau commutatif et unitaire. Soit S , H deux idéaux maximaux de A. Soit n, m dans N. montrer que: S^n + H^m =A.

Besoin d'indication.

Posté par
Camélia Correcteurre : somme d'idéaux maximaux 02-08-21 à 16:17

Bonjour

Tu es sur d'avoir tout dit?
Prends A=\R[X,Y], S=XA et H=YA. Pour m>1 et n>1 on a A\neq S^n+H^m

Posté par
LERAOULre : somme d'idéaux maximaux 02-08-21 à 16:24

les idéaux sont distincts et les entier naturel sont non nuls.

Merci !

Posté par
Camélia Correcteurre : somme d'idéaux maximaux 02-08-21 à 16:41

Alors ça ne marche pas!

Posté par
LERAOULre : somme d'idéaux maximaux 02-08-21 à 17:03

un contre exemple SVP ?

Posté par
matheuxmatoure : somme d'idéaux maximaux 02-08-21 à 18:33

bonjour

LERAOUL @ 02-08-2021 à 17:03

un contre exemple SVP ?


ben... lis les réponses de Camélia

Posté par
LERAOULre : somme d'idéaux maximaux 02-08-21 à 19:51

Okay, je vois merci !!!

Posté par
lionel52re : somme d'idéaux maximaux 02-08-21 à 21:08

Mais S = XA n'est pas un idéal maximal de R[X,Y] non?

(S,Y^2) ne contient pas Y...

Posté par
GBZMre : somme d'idéaux maximaux 02-08-21 à 21:52

Bonsoir,

La propriété à démontrer est bien vraie, fort heureusement !
Ce qui est important c'est que S et H sont comaximaux, autrement dit que S+H=A.
On a ainsi une "identité de Bézout" 1=s+h avec s\in S et h\in H.

En pensant à ce qu'on fait pour les entiers, il est facile d'en déduire que S^n et H^m sont aussi comaximaux.

Posté par
Camélia Correcteurre : somme d'idéaux maximaux 03-08-21 à 16:44

Il manquait quand même quelque chose! Il n'est pas dit dans l'énoncé qu'ils sont comaximaux!
En fait, je pense plutôt qu'il y avait dans le contexte une hypothèse qui assurait Bézout!

Posté par
GBZMre : somme d'idéaux maximaux 03-08-21 à 18:27

Bonsoir Camelia,

Non il ne manquait rien dans l'énoncé !  Il est dit que S et H sont deux idéaux MAXIMAUX (distincts). Penses-tu alors que S+H pourrait être autre chose que l'anneau tout entier ???


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