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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Somme d'une série convergente et d'une série divergente

Posté par
ardea
16-10-21 à 20:27

Bonjour,

On veut montrer que si \sum{v_{n}} est convergente alors \sum{u_{n}} et \sum{(u_{n}+v_{n})} sont de même nature.

Pour la convergence, pas de difficulté. J'ai plus de mal à comprendre le raisonnement concernant la divergence.

Dans mon cours, la preuve utilise le fait que si \sum{(u_{n}+v_{n})} converge alors \sum{u_{n}}=\sum{(u_{n}+v_{n})}-\sum{v_{n}} converge ce qui montre par contraposition que si \sum{u_{n}} diverge, \sum{(u_{n}+v_{n})} diverge aussi.

Je n'arrive pas à voir la contraposée. Pour moi, il faudrait montrer que si \sum{u_{n}} et \sum{(u_{n}+v_{n})} ne sont pas de même nature alors \sum{v_{n}} diverge. Du coup, si on suppose que \sum{(u_{n}+v_{n})} diverge et que \sum{u_{n}} converge par exemple alors, par commutativité et associativité, on a :

\sum{(u_{n}+v_{n})} = \sum{u_{n}}   +  \sum{v_{n}}

Si  \sum{v_{n}}   converge alors \sum{(u_{n}+v_{n})} converge comme somme de deux séries convergentes ce qui contredit l'hypothèse de départ.

Merci pour vos corrections/éclaircissements.

Posté par
Ulmiere
re : Somme d'une série convergente et d'une série divergente 16-10-21 à 20:37

Ton dernier paragraphe n'est pas très clair, mais quand on dit "par contraposition", on parle de la contraposée de

(\sum u_n+v_n CV) \implies (\sum u_n CV)

qui est

(\sum u_n DV) \implies (\sum u_n+v_n DV)




et non pas de la contraposée de l'énoncé (\sum v_n CV) \implies (\sum u_n et \sum u_n+v_n de même nature)

qui est

(\sum u_n et \sum u_n+v_n pas de même nature) \implies (\sum v_n DV)

Posté par
ardea
re : Somme d'une série convergente et d'une série divergente 16-10-21 à 22:12

Merci pour ta réponse Ulmiere.

Effectivement, je pensais que c'était la contraposée de l'énoncé (que j'ai essayé de montrer dans mon dernier paragraphe sans succès), c'est plus clair maintenant.

Merci encore.

Posté par
Ulmiere
re : Somme d'une série convergente et d'une série divergente 17-10-21 à 12:02

De rien



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