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Somme d'une série entière

Posté par
kaylox1298 22-01-22 à 08:51

Bonjour,
Je n'arrive pas à determiner la somme de cette serie entiere : \sum{\frac{(n^2 + n+ 1 )}{n!} x^n sur son intervalle de convergence cad : ]-\infty ;+\infty [ ( à confirmer svp ?)

car j'ai trouvé son rayon de convergence egal à + infini à l'aide de d'Alembert. J'ai essayé de découper en deux sommes tq : \sum{\frac{n (n+1)}{n!}*x^n}+ \sum{\frac{1}{n!}*x^n} → mais je n'y arrive toujours pas (du moins pour la premiere, car la deuxieme est connue). Merci

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Somme d'une série entière 22-01-22 à 08:53

Bonjour,
Tu es en maths sup ou en maths spé ?

Posté par
kaylox1298re : Somme d'une série entière 22-01-22 à 08:55

bonjour, je suis en math spé mais je dois actualiser mon statut je pense

Posté par
Zrunre : Somme d'une série entière 22-01-22 à 09:24

Bonjour \frac{n}{n!} = … et n+1 =n-1 +2

Posté par
Zrunre : Somme d'une série entière 22-01-22 à 09:25

Lire \frac{n}{n!} = …

Posté par
larrechre : Somme d'une série entière 22-01-22 à 09:41

Bonjour,

Autre approche, concernant \sum{\dfrac{n (n+1)}{n!}*x^n}

Considérer la série \left(\sum{\dfrac{x^{n+1}}{n!}}\right)  dont la somme se calcule facilement et songer à dériver.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Somme d'une série entière 22-01-22 à 10:31

@kaylox1298,
Merci d'actualiser ton profil rapidement

Posté par
carpediemre : Somme d'une série entière 22-01-22 à 11:19

salut

puisque toutes les séries convergent on a le droit d'écrire :

\sum \dfrac{n^2 + n + 1} {n!} x^n = \sum \dfrac n {(n - 1)!} x^n + \sum \dfrac 1 {(n - 1)!} x^n + \sum \dfrac 1 {n!} x^n = x^2 \sum_? \dfrac {x^{n - 2}} {(n - 2)!} + 2x\sum_? \dfrac {x^{n - 1}} {(n - 1)!} + e^x

tout le pb est de déterminer proprement les indices initiaux ''?'' ... et éventuellement faire un changement d'indice (mais pas nécessaire)

Posté par
Razesre : Somme d'une série entière 22-01-22 à 13:35

Bonjour,

Ta décomposition n'est pas bonne. Afin de pouvoir simplifier facilement avec les termes de n! , il vaut mieux poser n^2+n+1=n (n-1)+an+b (que tu peux généraliser pour des degrés supérieur); il suffit de déterminer a, b et le tours est joué.

Posté par
lafol Moderateurre : Somme d'une série entière 22-01-22 à 14:13

Bonjour
ce que veut dire Razes, ce n'est pas que ta décomposition est fausse : elle est exacte. Elle est seulement peu adaptée à ce que tu veux en tirer

Posté par
larrechre : Somme d'une série entière 22-01-22 à 15:07


Citation :
Ta décomposition n'est pas bonne
.

Que ce ne soit pas la meilleure décomposition possible, sans doute, néanmoins elle permet d'arriver facilement au résultat.

Posté par
Razesre : Somme d'une série entière 22-01-22 à 17:11

@lafol, @larrech; il faut placer le terme "pas bonne" dans son contexte. Ce que j'entendais, et je pense que vous l'avez compris, que n'est pas la façon la plus simple avec la factorielle au dénominateur. Tous les chemins mènent à Rome, mais il y a de plus courts. Dans ce cas j'ai essayé de partager avec kaylox1298 cette astuce.


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