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Niveau Licence Maths 1e ann
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Somme d'une série entière

Posté par
Vantin
14-05-22 à 17:58

Bonjour ! Alors voilà je bloque sur ce calcul (j'ai déjà justifié le fait que le rayon de convergence est > 0) et voilà ce que j'ai fais:

6. \sum\limits_{n\ge1}  \frac{x^n}{n(n+2)}
\sum x^n= \frac{1}{1-x} \Rightarrow \sum \frac{x^{n+1}}{n+1} = \sum\limits_{n\ge 1}\frac{x^{n}}{n}= -\ln(1-x)  
\left(\sum\limits_{n\ge1} \frac{x^n}{n(n+2)}\right)' = \sum\limits_{n\ge2} \frac{x^{n-1}}{(n+2)}= \sum \frac{x^{n+1}}{n+4}=x^{-3}\sum \frac{x^{n+4}}{n+4}
On pose k = n+4,
x^{-3}\sum \frac{x^{n+3}}{n+3}= x^{-3}\sum\limits_{k\ge4} \frac{x^{k}}{k} = x^{-3}\sum\limits_{k\ge1} \frac{x^{k}}{k} - x^{-3} \cdot \frac{x^1}{1} - x^{-3} \cdot \frac{x^2}{2} - x^{-3} \cdot \frac{x^3}{3}
\mbox{Donc } \left(\sum \frac{x^n}{n(n+2)}\right)' = -\frac{\ln(1-x)}{x^3} -\frac{1}{x^2} - \frac{1}{2x} - \frac{1}{3}
\begin{aligned}
 \\ 	\int - \frac{\ln(1-x)}{x^3}  \mbox{ }dx &= \frac{1}{2x^2}\ln(1-x) + \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2(1-x)} \mbox{ } dx \\ \\
 \\ 	&= \frac{1}{2x^2}\ln(1-x) + \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2}+ \frac{1}{x} + \frac{1}{1-x} \mbox{ } dx \\ \\
 \\ 	&=  \frac{\ln(1-x)}{2x^2} -\frac{1}{2x} +\frac{\ln(x)}{2}-\frac{\ln(1-x)}{2}
 \\ \end{aligned}
\int -\frac{1}{x^2} - \frac{1}{2x} - \frac{1}{3} \mbox{ } dx = \frac{1}{x} -\frac{\ln(x)}{2} -\frac{x}{3}

\sum \frac{x^n}{n(n+2)} = \ln(1-x) \left(\frac{1}{2x^2} -\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2x} + \frac{x}{3}

Mais d'après wolfram alpha, je suis censé trouvé :
 \ln(1-x)\left(\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{4} + \frac{1}{2x}
Donc je suis pas très loin mais je vois pas ce que je fais de mal ?

Posté par
carpediem
re : Somme d'une série entière 14-05-22 à 18:57

salut

\dfrac 1 {n(n + 2)} = \dfrac 1 2 \left( \dfrac 1 n - \dfrac 1 {n + 2} \right)

\sum \dfrac {x^n} n ne pose pas de pb ...

\sum \dfrac {x^n} {n + 2} = \dfrac 1 {x^2} \sum \dfrac {x^{n + 2}} {n + 2}

avec les bornes convenables ...

Posté par
larrech
re : Somme d'une série entière 14-05-22 à 19:01

Bonjour,

Il y a une erreur dans la variation des indices.

Ligne 3 : après dérivation, on a toujours n1

ensuite c'est k3, de sorte qu'il n'y a pas lieu de retrancher le x3/3 (quatrième ligne).

Mais je ne m'explique pas le 1/4 de Wolfram

Posté par
Vantin
re : Somme d'une série entière 14-05-22 à 19:20

Merci carpediem, j'ai trouvé le bon résultat en partant avec ta remarque mais j'aimerais comprendre où je me suis trompé dans mon calcul.
Concernant l'erreur d'indicage, j'avoue ne pas comprendre dans mon cours, le théorème correspondant s'énonce comme ceci:

Soit f : x \mapsto \sum\limits_{n\ge 0} a_n\cdot x_n une série entière réelle de rayon de convergence R > 0:

- f est continue sur ]-R, R[
- f est dérivable sur ]-R, R[ et pour tout x \in ]-R, R[:
f'(x) =  \sum\limits_{n\ge 1} n\cdot a_{n}\cdot x^{n-1}
Le rayon de convergence de la série entière dérivée est R.
-Une primitive F de f est la série entière:
F(x) = \sum\limits_{n\ge 0}  \frac{a_n}{n+1}\cdot x^{n+1}

Cette dernière série entière a toujours pour rayon R.

Donc selon mon cours, il faut bien augmenter l'indicage de 1 cran,
je suis aussi passé par la formule,  f'(x) = \sum (n+1)a_{n+1}x^n mais je retombe sur le même développement

Posté par
Vantin
re : Somme d'une série entière 14-05-22 à 19:23

En utilisant la remarque de carpe, on a donc:
 \begin{aligned}
 \\ 	\sum\limits_{n\ge 1} \frac{x^n}{n(n+2)}& = \frac{1}{2}\cdot \sum\limits_{n\ge 1} \frac{x^n}{n} - \frac{1}{2}\cdot \sum\limits_{n\ge 0} \frac{x^n}{n+2}\\
 \\ 	&= -\frac{1}{2}\cdot \ln(1-x) -\frac{1}{2x^2}\cdot \sum\limits_{n\ge 1} \frac{x^{n+2}}{n+2}\\
 \\ 	&=-\frac{1}{2}\cdot \ln(1-x) + \frac{1}{2x^2}\cdot\big[\ln(1-x) + x + \frac{x^2}{2}\big] \\
 \\ 	&= \ln(1-x)\left(\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{4} + \frac{1}{2x}
 \\ \end{aligned}

Posté par
larrech
re : Somme d'une série entière 14-05-22 à 19:25

Le er terme de la série donnée est x/3, dont la dérivée est 1/3.

En partant de n=2, le premier terme de xn-1/(n+2) est x/4.

Posté par
larrech
re : Somme d'une série entière 14-05-22 à 19:27

Je dois faire une erreur , mais que vaut S(0) ?

Posté par
Vantin
re : Somme d'une série entière 14-05-22 à 19:53

Ok je vois  pourquoi c'est juste de prendre n=1 et non n=2 avec ton exemple pour le départ de la série dérivée mais je ne comprends pas pourquoi cest 1 car en appliquant les formules ça devrait être 2:
Si on utilise la deuxième formule que j'ai donné, on a:


 \\ 	\sum\limits_{n\ge 1} \frac{x^n}{n(n+2)} \Rightarrow	\sum\limits_{n\ge 1} \frac{x^n}{n+3} = \frac{1}{x^3}\cdot\sum\limits_{n\ge 1} \frac{x^{n+3}}{n+3} 
 \\

En posant k = n+3, si n= 1 alors k =4 d'où
 \frac{1}{x^3}\cdot\sum\limits_{k\ge 4} \frac{x^{k}}{k}

Posté par
Vantin
re : Somme d'une série entière 14-05-22 à 20:11

Et pour répondre à ta question,

S(0) =  \lim\limits_{x\to 0} \mbox{ } \ln(1-x)\left(\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{4} + \frac{1}{2x} = 0
en utilisant que \ln(1-x) \sim -x

Ou on remarque qu'une somme de 0 à l'infini fait 0?

Posté par
carpediem
re : Somme d'une série entière 14-05-22 à 21:10

il reste cependant un pb en 0 dans ton dernier msg ... ce me semble-t-il :

il reste x/2 + 1/4 qui ne fait pas 0 en 0 ...

pour tes erreurs éventuelles j'ai arrêté à la deuxième ligne quand tu fais un changement d'indice " + 2" alors que "+ 1" suffit ... et me semble plus simple et on n'aurait pas le facteur 1/x^3 mais 1/x^2 ...

et peut-être des erreurs de bornes  en conséquence ...

Posté par
Vantin
re : Somme d'une série entière 14-05-22 à 21:36

Oups oui une coquille, je voulais marquer  ln(1-x) \sim -x -x^2/2

Posté par
larrech
re : Somme d'une série entière 14-05-22 à 22:01

OK, j'ai vu mon erreur sur le 1/4. Wolfram avait raison

Posté par
Vantin
re : Somme d'une série entière 14-05-22 à 22:18

J'ai vraiment l'impression d'être perdu pour le changement d'indice, pourquoi partir de +1 et non de +2 ?

Posté par
carpediem
re : Somme d'une série entière 15-05-22 à 09:27

quand tu dérives et arrives à x^(n - 1)/(n + 2) je ferai le changement d'indice "+ 1" pour revenir à x^n ...

et là il y a erreur de bornes il me semble puisque tu passes de x >= 1 à x >= 2 e t tu perds le terme constant !!

dans ce genre de calcul : dérivée ou primitive d'une somme j'écris toujours les premiers termes au brouillon et je dérive ou primitive pour bien vérifier quelles seront les nouvelles bornes ...



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