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Somme d'une suite quelconque

Posté par
Amaiar
19-09-12 à 18:26

Bonjour,
J'ai un DM de maths dont un exercice que je n'arrive pas à résoudre:
Pour tout n>=1 Un=1-(1/n)
Soit Sn= U1+U2+U3...+Un

Il faut démontrer que pour tout n>/=1,soit P(n) la propriété: Sn>/= (n-1)/2

J'ai d'abord fait l'initialisation:
P(1) vraie?
u1=0     (n-1)/2= (1-1)/2= 0   Donc P(1) est vraie

Par contre pour l'hérédité je bloque! Je pensais remplacer n par k, puis vérifier si la propriété fonctionne pour k+1, mais comme Un étant une suite quelconque, je n'ai pas de somme de terme calculable à comparer...

Vous avez une idée de la manière de procéder?

Posté par
Amaiar
ps 19-09-12 à 18:45

Précédemment j'ai du démontrer que la suite était monotone, et j'ai démontrer qu'elle était strictement croissante, si je prouve que la propriété est vraie pour P(1), alors elle l'est aussi pour la suite?

Posté par
LeHibou
re : Somme d'une suite quelconque 19-09-12 à 19:00

Bonjour,

Suppose Sn (n-1)/2
Sn+1 = Sn + Un+1 (n-1)/2 + 1 -1/(n+1)
Et donc, si tu arrives à montrer que (n-1)/2 + 1 -1/(n+1) n/2, tu as gagné
Pour cela, tu étudies le signe de (n-1)/2 + 1 -1/(n+1) - n/2 qui doit être 0
(n-1)/2 + 1 -1/(n+1) - n/2 = n/2 - 1/2 +1 - 1/(n-1) -n/2
= 1/2 - 1/(n-1) = (n-1 - 1)/(2(n-1)) = (n-2)/(2(n-1))
Pour n > 2, tu as bien (n-2)/(2(n-1)) > 0, et c'est terminé.

Posté par
nanardu78
re : Somme d'une suite quelconque 19-09-12 à 19:48

Bonjour, je ne veux pas embêter mais depuis hier personne ne répond à mon sujet. Pourtant je poste de nouveaux messages pour que mon topic ne disparraisse pas et j'ai fais des choses depuis hier... Merci donc de regarder mon message (voir mon pseudo).

Posté par
Amaiar
re : Somme d'une suite quelconque 19-09-12 à 20:02

Merci d'avoir répondu,
Je comprends le raisonnement, mais pourquoi n/2 - 1/2 +1 - 1/(n-1) -n/2= 1/2 - 1/(n-1) ?
Je ne comprends pas le 1/(n-1), c'est 1/(n+1) non?

Posté par
Amaiar
re : Somme d'une suite quelconque 19-09-12 à 20:13

Bon, finalement j'ai fini le raisonnement, merci LeHibou pour ton aide!! Bonne soirée

Posté par
LeHibou
re : Somme d'une suite quelconque 20-09-12 à 14:04

Je t'en prie !



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