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somme dans suites

Posté par
JaimeLesJokes 14-10-20 à 14:09

Bonjour, je poste cet exercice car j'ai pas mal de mal avec les sommes. J'en ai une autre à faire, mais si j'ai besoin d'aide, il faudra que je le mette dans un autre post. Merci d'avance pour tout aide.

On considère la suite (Un) définie pour tout entier naturel n non-nul par:

Tn= 1/n+k    

Démontrer que la suite (Un) est strictement croissante.

Posté par
Camélia Correcteurre : somme dans suites 14-10-20 à 14:18

Bonjour

Qui est U_n? As-tu bien mis toutes les parenthèses?

Posté par
JaimeLesJokesre : somme dans suites 14-10-20 à 14:21

Camélia @ 14-10-2020 à 14:18

Bonjour

Qui est U_n? As-tu bien mis toutes les parenthèses?


Ah je me suis trompé c'est pas Un c'est la suite Tn

Posté par
Glapion Moderateurre : somme dans suites 14-10-20 à 14:23

Bonjour, tu as probablement oublié les parenthèses

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q27 - Comment bien écrire une formule ?



si c'est T_n=\sum_{k=0}^n\dfrac{1}{n+k} tu aurais dû l'écrire Tn= 1/(n+k) et préciser d'où à où k variait.

Pour étudier la croissance, étudier le signe de Tn+1-Tn.

Posté par
Camélia Correcteurre : somme dans suites 14-10-20 à 14:25

Et comment est indexée la somme?
Est-ce bien T_n=\sum \dfrac{1}{n}+k?
Calcule T_{n+1}-T_n et regarde son signe.

Posté par
JaimeLesJokesre : somme dans suites 14-10-20 à 14:42

Ah désolé,

En effet c'est Tn = 1/(n+k)

En suite, en faisant Tn+1-Tn j'obtiens

1/(n+1+k) - 1/(n+k)

Posté par
Camélia Correcteurre : somme dans suites 14-10-20 à 14:43

Non, ce n'est pas juste.
Ecris T_2-T_1, T_2-T_3 et regarde!

Posté par
JaimeLesJokesre : somme dans suites 14-10-20 à 14:50

T2 - T1 = 1/(2+k) - 1/(1+k)



T2 - T3 = 1/(2+k) - 1/(3+k)

Je vois pas ce que ça fait.

Posté par
Camélia Correcteurre : somme dans suites 14-10-20 à 14:57

NON!
Ecris T_1 et T_2. Ils ne dépendent pas de k.

Posté par
JaimeLesJokesre : somme dans suites 14-10-20 à 15:06

T1 = 1/(n+1)
T2 = 1/(n+2)

C'est bien ça ?

Posté par
Camélia Correcteurre : somme dans suites 14-10-20 à 15:28

C'est probablement ça. Tu n'as toujours pas dit où varie k. S'il commence à 1, c'est bon.

Posté par
JaimeLesJokesre : somme dans suites 14-10-20 à 15:31

Ah oui, k commence à 0

Posté par
Camélia Correcteurre : somme dans suites 14-10-20 à 15:46

Bon, alors tu réécris!

Posté par
JaimeLesJokesre : somme dans suites 14-10-20 à 16:12

Pour K = 0

Tn+1 - Tn = 1/(n+1+0) - 1/(n+0)

= 1/(n+1) - 1/n

Soit 1/(n+1) - (n+1)/(n+1)

= 1 - (n+1)/(n+1)?

Posté par
Camélia Correcteurre : somme dans suites 14-10-20 à 16:24

Non, reprends avec des petites valeurs.

Posté par
JaimeLesJokesre : somme dans suites 14-10-20 à 17:10

T2 - T1 = 1/(n+2) - 1/(n+1)

Donc (n+1)/(n+1)(n+2) - (n+2)/(n+2)(n+1)

= (n+1-n+2)/(n+2)(n+1)

= 3/(n+2)(n+1)
?

Posté par
JaimeLesJokesre : somme dans suites 14-10-20 à 18:43

UP !

Posté par
Glapion Moderateurre : somme dans suites 14-10-20 à 19:20

non ça ne va pas du tout, tu laisses des n alors que n est fixé

T_1=\sum_{k=0}^1\dfrac{1}{1+k}=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}

T_2=\sum_{k=0}^2\dfrac{1}{2+k}= \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{4}= \dfrac{13}{12}

Le seul problème par rapport à l'énoncé c'est que moi je trouve une suite décroissante.
mais j'ai peut-être pas compris l'énoncé, tu es sûr de la définition de Tn ?

écris convenablement Tn+1 et Tn puis fais la différence (pense que Tn commence par 1/n qui n'est pas présent dans Tn+1), moi je trouve une expression négative.

Posté par
JaimeLesJokesre : somme dans suites 14-10-20 à 19:53

Je n'ai pas compris tes calculs de T1 et T2

Oui l'expression de Tn est bien cela

Tn+1 = 1/(n+1+k)
Tn = 1/(n+k)

après je vois pas trop comment faire, car comme je l'ai dit, j'ai du mal avec les sommes.

Glapion @ 14-10-2020 à 19:20

non ça ne va pas du tout, tu laisses des n alors que n est fixé

T_1=\sum_{k=0}^1\dfrac{1}{1+k}=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}

T_2=\sum_{k=0}^2\dfrac{1}{2+k}= \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{4}= \dfrac{13}{12}

Le seul problème par rapport à l'énoncé c'est que moi je trouve une suite décroissante.
mais j'ai peut-être pas compris l'énoncé, tu es sûr de la définition de Tn ?

écris convenablement Tn+1 et Tn puis fais la différence (pense que Tn commence par 1/n qui n'est pas présent dans Tn+1), moi je trouve une expression négative.

Posté par
JaimeLesJokesre : somme dans suites 14-10-20 à 22:00

UP

Posté par
JaimeLesJokesre : somme dans suites 14-10-20 à 22:34

Glapion

Le prof a rectifié en disant qu'il faut montrer que la suite est décroissante comme tu l'as dit, dcp je vois pas comment conclure.

Posté par
Glapion Moderateurre : somme dans suites 14-10-20 à 22:54

Citation :
Le prof a rectifié en disant qu'il faut montrer que la suite est décroissante comme tu l'as dit, dcp je vois pas comment conclure.


haha quand même !

calcule comme moi Tn+1-Tn

T_n=\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+...\dfrac{1}{n+n}
T_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+...+\dfrac{1}{n+n}+\dfrac{1}{n+1+n}+\dfrac{1}{n+1+n+1}

Posté par
JaimeLesJokesre : somme dans suites 14-10-20 à 23:06

Glapion

Tn+1 - Tn = 1/(n+1+n+1 ) - 1/(n+n)

= 1/(2n + 2) - 1/2n

= 1/(2n + 2) - (2n+2)/2n(2n+2)?

= 1-(2n+2)/(2n+2)?

Posté par
Glapion Moderateurre : somme dans suites 14-10-20 à 23:15

Citation :
Tn+1 - Tn = 1/(n+1+n+1 ) - 1/(n+n)

non, regarde bien les termes communs ou pas entre les deux expressions, j'ai fait exprès de te les écrire complètement.

Posté par
JaimeLesJokesre : somme dans suites 14-10-20 à 23:23

On a juste rajouté n+1 à n ?

Posté par
Glapion Moderateurre : somme dans suites 14-10-20 à 23:25

oui, alors que vaut Tn+1-Tn ?
tu vois bien quand même que Tn a un terme en 1/n qui n'est pas dans Tn+1 ?

Posté par
JaimeLesJokesre : somme dans suites 14-10-20 à 23:26

1/n+2?

Posté par
Glapion Moderateurre : somme dans suites 14-10-20 à 23:33

attends, je t'ai écris les deux expressions, tu ne vas pas me dire que la différence entre les deux c'est seulement 1/(n+2) ??

Posté par
JaimeLesJokesre : somme dans suites 14-10-20 à 23:36

Bah, moi en regardant les 2 expressions, je vois que y'a pas 1/n dans Tn+1

Posté par
Glapion Moderateurre : somme dans suites 14-10-20 à 23:42

Citation :
je vois que y'a pas 1/n dans Tn+1


Ben oui, je te l'ai déjà fait remarqué à 23h25 ! et donc quand on fait Tn+1-Tn on doit trouver un -1/n

c'est tout de même pas bien compliqué d'écrire que
T_{n+1}-T_n = \dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2}-\dfrac{1}{n} tous les autres termes se simplifient.

Et donc tu n'as plus qu'à réduire ça au même dénominateur et à en étudier le signe.

Posté par
JaimeLesJokesre : somme dans suites 14-10-20 à 23:51

Je suis vraiment aveugle, quand je revois c'est logique haha...

On met au même dénominateur (2n +2)(2n + 1)?

Posté par
Glapion Moderateurre : somme dans suites 15-10-20 à 10:08

le dénominateur commun c'est plutôt n(2n+1)(2n+2)

Posté par
JaimeLesJokesre : somme dans suites 15-10-20 à 10:12

Il faut mettre aussi au numérateur ?

Posté par
Glapion Moderateurre : somme dans suites 15-10-20 à 10:45

Citation :
Il faut mettre aussi au numérateur ?

je ne comprends pas ta question. Ne me dis pas que tu ne sais pas mettre 3 fractions au même dénominateur puis les ajouter ?

Posté par
JaimeLesJokesre : somme dans suites 15-10-20 à 11:14

Si c'est pour demander si c'est bon

Donc j'ai fait

(n(2n+1) + n(2n+2) - (2n+2)(2n+1))/n(2n+2)(2n+1)

Posté par
Glapion Moderateurre : somme dans suites 15-10-20 à 11:27

développe, simplifie le numérateur, tu dois trouver le signe de cette expression, je te rappelle.

Posté par
JaimeLesJokesre : somme dans suites 15-10-20 à 11:50

Donc 2n^2 + n +2n^2 +2n - 4n^2 - 2n - 4n - 2

= - 3n - 2 au numérateur

Posté par
Glapion Moderateurre : somme dans suites 15-10-20 à 11:55

oui OK et donc tu en conclus quoi ?

Posté par
JaimeLesJokesre : somme dans suites 15-10-20 à 12:03

Donc

(-3n - 2) / n(2n+2)(2n+1) donc en simplifiant

= - 3 - 2/(2n+2)(2n+1)

= - 5/(2n+2)(2n+1)?

Posté par
Glapion Moderateurre : somme dans suites 15-10-20 à 12:37

non, tu avais bon avec = (- 3n - 2 )/(n(2n+2)(2n+1)) pourquoi faire des calculs faux après ça ? tes simplifications n'ont aucun sens, (-3n-2)/n ça fait -3-2/n et pas -3-2

tu peux maintenant conclure sur le signe de l'expression sans problème.

Posté par
JaimeLesJokesre : somme dans suites 15-10-20 à 12:45

J'ai pas compris

C'est donc (-3-2)/(n(2n+2)(2n+1))?

Posté par
Glapion Moderateurre : somme dans suites 15-10-20 à 12:48

mais non ! tu avais trouvé - 3n - 2 au numérateur ! pourquoi mettre -3-2 à la place ????
laisse ce numérateur tranquille.

c'est de quel signe - 3n - 2 ?

Posté par
JaimeLesJokesre : somme dans suites 15-10-20 à 12:54

- 3n - 2 est de signe négatif

Et le dénominateur : n(2n + 2)(2n + 1) est de signe positif

Posté par
Glapion Moderateurre : somme dans suites 15-10-20 à 13:02

OK et donc qu'est-ce que tu conclus pour la suite Tn ?

Posté par
JaimeLesJokesre : somme dans suites 15-10-20 à 13:04

Négatif/positif = négatif

Donc Tn est strictement décroissante

Posté par
Glapion Moderateurre : somme dans suites 15-10-20 à 13:14

OK. Laborieux mais tu as fini par arriver au bout

Posté par
JaimeLesJokesre : somme dans suites 15-10-20 à 13:15

Merci beaucoup.


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