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Niveau Maths sup
somme de 2 carres
Posté par Yosh2
bonjour
pouvez vous m'aider pour l'exo suivant
soit p premier >2
a-mq si p est la somme de 2 carres alors p
1[4]
dans la suite on prend p 1[4]
b-pour p=1+2k avec k pair mq (p-1)!(k!)2[p]
c-en deduire il existe q tq q2-1[p]
on pose 
=q/p, n=E(
p)+1 et pour i
{0, ..., n-1} xi=i-E(i)
d-mq si tous les xi ]0,(n-1)/n[ alors il existe b et a entiers tq 0<b<n et |b-a|<=1/n
e-mq ce resultat persiste si il existe un xi dans [(n-1)/n,1[
f-(ap-bq)2+b20[p] et deduire que (ap-bq)2+b2=p
j'arrive a faire a,b,c et partiellement d
pour a je la resous en disant que l'un des termes sera pair et l'autre impair
pour b je separe la factoriel puis j'utilise un changement de variable i=p-j
pour c j'utilise le theoreme de wilson , et je trouve q=k!
pour d je fais 0<xi<(n-1)/n puis 0<nx<n-1<n et je trouve b=n-1 pour l'autre partie j'ai essaye de partir de l'encadrement de b puis multiplier par mais sans resultat apparent , j'ai essaye de partir de l'encadrement de i puis multiplier par et rien non plus,j'ai aussi essaye de partir depuis le resultat attendu mais la encore je n'arrive pas a l'exploiter.
merci a vous
Bonjour,
pour le d) , il y a nombres
dans un intervalle de longueur
, il y en a donc au moins deux à une distance
.
pour le e) , le est à une distance
de 1.
le f) n'est pas bien difficile.
bonjour
j'ai a compris votre remarque pour le d, il me semble qu'il s'agit du principe des tiroirs, j'ai donc fait il existe i et j tq |xi-xj|<=1/n
donc |(i-j)+E(j)-E(i)|<=1/n
on suppose j<i pour avoir b>0 et donc on trouve b=i-j et a=E(j)-E(i) , j'imagine donc que le premier b que j'avais trouve ete faux ( b=n-1),
pour e, on trouve |xi-1|<=1/n dans ce cas b=i et a=-1-E(i)
pour le f , j'utilise l'identite remarquable puis q2-1[p] j'en deduis que
(ap-bq)2+b2 =pk je dois donc monter que k=1 , grace a d j'obtiens l'encadrement 0<pk<n2+p2/n2 puis 0<k<n2/p+p/n2 et puis je n'arrive a affiner l'encadrement davantage.
pouvez me dire si ce que j'ai fait est correct et me donner une indication pour la derniere?
merci a vous
Pour le (d) c'est bien le principe des tiroirs.
Le premier b était faux.
Pour a c'est l'opposé car c'est d'après l'énoncé.
Pour le (e) c'est l'opposé pour a.
Pour le (f) c'est presque bien mais il fallait majorer b par n-1 et pas par n.
Il reste à utiliser donc
pour en déduire