Annuler
connectez vous
- Arithmétique : divisibilité, PGCD et PPCM, Nombres premiers
- Des mathématiciens célèbres : Fermat et Gauss
- Fonction exponentielle - Fiche de Cours terminale
- Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés
- Fiche sur les nombres complexes - terminale
- Limites de fonctions - Cours sur les limites
- Cours sur les suites en Terminale S
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale ArithmétiqueTopics traitant de Arithmétique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Somme de 3 chiffres parmi 5 quelconques.
Posté par matheux14
Bonjour ,
Merci d'avance. 
Demontrer que parmi cinq entiers relatifs on peut toujours en choisir trois dont la somme est divisible par 3.
Réponses
Soient ,
,
,
et
avec
Un nombre étant soit Pair , soit Impair ;
On a les combinaisons possibles :
PPP ; III ; PII ; PPI.
PPP peut s'écrire : 2k1+2k2 + 2k3.
III peut s'écrire : (2k1'+1) + (2k2'+1)+(2k'3+1)
PII peut s'écrire : 2k''1+(2k''2+1)+(2k''3+1)
PPI peut s'écrire : 2k'''1+2k'''2+(2k'''3+1)
Appelons PPP : S1 ; III : S2 ; PII : S3 et PPI : S4.
Alors S = S1+S2+S3
S=2(k1+k2+k3) +2(k'1+k'2+k'3)+3 +2(k''1+k''2+k''3)+2 +2(k'''1+k'''2+k'''3)+1
*Supposons que alors :
. ou
. ou
. ou
. ou
. (1) ou
. ou
. ou
(2)
D'après (1) et (2) , parmi cinq entiers relatifs on peut toujours en choisir trois dont la somme est divisible par 3.
salut
que c'est compliqué ... ainsi que ces notations ... alors qu'il y a 26 lettre dans l'alphabet ...
ensuite ce n'est pas leur parité qui nous intéresse mais leur congruence modulo 3 !!!
notons a, b, c, d et e ces cinq nombres ...
combien y a-t-il de restes modulo 3 ?
conclusion ?
Bonjour,
La question posée par carpediem n'était pas sur les valeurs des restes, mais sur le nombre de restes.
Sans parler de reste, on peut dire qu'il y a 3 types d'entiers :
Ceux congrus à 0, ceux congrus à 1 et ceux congrus à -1.
Que peut-on dire si les 3 types sont présents parmi les 5 entiers ?
Que peut-on dire sinon ?
*Si les 3 restes sont parmi les 5 entiers , alors la somme de ces entiers est divisible par 3 car sont consécutifs.
L'hypothèse est donc vérifiée.
*Sinon , alors on devrait trouver un triplet dont la somme est congru à 0 modulo 3.
a, b, c, d et e .
avec
avec
avec
avec
avec
* Si les 3 types sont présents parmi les 5 entiers ; c'est à dire soit i=0 ; soit j=0 ; soit m=0 ou
soit k=1 ; soit i=1 ; soit m=1 ou
soit k=2 ; m=2 ; j=2.
Alors l'hypothèse est vérifiée car si i=0 ; j=0 et m=0 alors
* Dans le cas contraire ; c'est à dire que tout les triplets qu'on former à partir de i ; j ; k ; l et m sont différents de toutes combinaison de triplets qu'on peut former avec les entiers 0 ; 1 et 2.
Mais là je ne vois pas comment l'exploiter..
Toutes ces lettres ne servent pas à grand chose.
Et dire que i est égal à 0,1 ou 2 est plus clair que .
Les 3 types sont présents parmi les 5 entiers signifie qu'il existe un des 5 nombres qui est congru à 0 modulo 3, un autre qui est congru à 1 modulo 3, et encore un autre congru à 2 modulo 3.
Que peut-on dire de la somme des ces trois nombres ?