Annuler
connectez vous
arithmétique en post-bac
- Arithmétique dans Z - supérieur
- Exercice : le petit théorème de Fermat
- Équations différentielles : un Cours complet avec des exemples
- Ensemble et application Partie II
- Ensemble et application Partie I
- Espaces vectoriels et Applications linéaires - supérieur
- Généralités sur les matrices, applications linéaires, changement de base, rang d'une matrice - supérieur
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Loisir ArithmétiqueTopics traitant de arithmétique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Loisir
somme de 3 cubes = 1
Posté par derny
Bonjour
Je ne retrouve plus une formule générale donnant la somme de 3 rationnels au cube valant 1. L'avez-vous ?
Dans le cas le plus simple (k=1) on arrivait à :
(-728/819)^3 + (971/819)^3 + (270/819)^3 =1 ce qui, écrit autrement donne :
971^3 + 270^3 = 819^3 + 728^3
Malou édit : forum modifié
Bonjour,
je n'ai pas trouvé sur le net mais sur un livre(*) on y cite la formule attribuée à Binet pour
x3+y3+z3 = w3
x = 1-(m-3n)(m²+3n²)
y = (m+3n)(m²+3n²)-1
z = (m²+3n²)²-(m+3n)
w = (m²+3n²)² -(m-3n)
pour tout m, n de Z
(*) Dissection Plane & Fancy Greg N. Frederickson
utilisée pour la dissection de cubes
Merci mathafou.
Je n'ai pas non plus retrouvé sur Internet. Celle-ci qui fait appel aux nombres auxiliaires est pas mal non plus.
Si on veut que w=1 j'arrive à une équation du 3e degré pour m avec n =m-1.
Reste à trouver les valeurs de x, y et z.
(à suivre peut-être)
Oui, la formule de Binet est splendide.
De mon côté, je peux te donner un plus "classique" pour .
Sachant le célèbre , et le trivial
,
alors tu vérifies si ça fonctionne encore avec des combinaisons linéaires
Car en degré 3, ça se goupille super bien avec
On cherche:
Restent:
Au final:
Et voilà. T'as plein de solutions avec 2 paramètre (m,n)
Merci fabo34. Je n'ai pas encore regardé ce que tu m'envoies mais ce que je cherche en priorité c'est que la somme des 3 cubes fasse 1. J'avais vu cette formule mais ne la retrouve pas (j'avais noté le résultat le + simple : message initial).
le résultat "le plus simple" ne serait il pas plutôt [fabo34] :
(3/6)3 +(4/6)3 + (5/6)3= 1
c'est à dire (1/2)3 +( 2/3)3+(5/6)3=1
il y en a d'autres des "simples" :
in ibidem (dissections) 13 + 63 + 83 = 93 donnant
(1/9)3 + (2/3)3 + (8/9)3 = 1
ou dans Z : 93 + 103 + (-12)3 = 1
nota
partir de combinaisons linéaires de deux cas particulier donne-t-il vraiment tous les cas ?
c'est un peu comme les formules"simplifiées" de Pythagore et de Platon pour les triplets pythagoriciens : ça ne les donne pas tous.
derny: mais tu veux des solutions rationnelles ou entières??
Car là mathafou et moi t'avons donné plein de solutions entières à x³+y³+z³=w³
Donc si tu divises, ça fait (x/w)³+(y/w)³+(z/w)³=1.
Que cherches-tu?
mathafou : Effectivement, je ne pense pas que ça donne tous les cas. Faudrait le prouver. Carsi c'était le cas, on aurait (possiblement) une démo pour le cas n=3 du théorème de Fermat. Ce serait trop beau!
Bonsoir,
le cas n=3 du théorème de Wiles-Fermat a été démontré depuis longtemps : voir sur Wikipedia 