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somme de carres

Posté par Julye (invité) 16-07-05 à 00:41

bonsoir

bon, vous etes bien sympathiques, alors je poursuis

enonce
1. soit a, x, y des entiers. montrer que si x^2+y^2=3a, alors x=0 (mod 3) et y=0 (mod 3)
2. montrer que x^2+y^2=750000 n'a pas de solution dans \mathbb{N}

ce que j'ai trouve :
1.
je fais la demonstration par contraposition
comme le probleme est symetrique en x et y, je fais seulement le cas ou x=1 ou x=2
on a alors x^2+y^2=1+y^2 dans les deux cas puisque l'on a aussi 4=1
bon, pour les carres modulo 3, pas trop le choix, c'est que 1 ou 0 (0^2=0, 1^2=1 et 2^2=1)
donc deux possibilites : 1+0=1 ou 1+1=2
dans les deux cas, c'est (x^2+y^2) different de 0

2. bon on a 750000=3\times250000 donc c'est bien nul modulo 3
d'apres la question precedente, x (et y) est divisible par 3 donc les carres vont contenir le facteur 9 et leur somme aussi
mais 750000=7+5=12=3\not=0 (mod 9)
donc c'est pas possible : l'equation n'admet pas de solution

merci d'avance des remarques et suggestions

Posté par
Nightmarere : somme de carres 16-07-05 à 01:01

Re

Pour le premier je ne comprends pas vraiment ce que tu fais.

L'idée de contrapposition est bonne, moi j'aurais ensuite rédigé comme cela

Supposons
3$\rm x\equiv 1[3] et y\equiv 1[3]
on a alors :
3$\rm x^{2}+y^{2}\equiv 2[3]

Si 3$\rm x\equiv2[3] et y^{2}\equiv 1[3] alors x^{2}+y^{2}\equiv 5\equiv 2[3]

Si 3$\rm x\equiv 2[3] et y\equiv 2[3] alors x^{2}+y^{2}\equiv 8\equiv2[3]

On conclut de cela que si 3$\rm 3|x^{2}+y^{2} alors a fortiori x et y sont congrues à 0 modulo 3

La 2 est bonne


Jord

Posté par
enzore : somme de carres 16-07-05 à 01:08

A vrai dire j'ai moi aussi quelques pb avec ta démo Julye pour la 1. Celle de Nightmare a l'air OK......

>Nightmare

C'est ton rôle de modo qui t'astreint à être connecté??? De plus j'ai vu que tu étais seulement en seconde: Mes félicitations pour tous les posts que j'ai pu voir où tu surpasses de loin ce niveau!
Peut-être un futur chercheur......

Posté par Julye (invité)re : somme de carres 16-07-05 à 01:10

(re)bonsoir Nightmare
pour le debut :
je suppose d'abord que x\not=0 donc c'est soit 1 soit 2
dans le cas x=1, x^2+y^2=1+y^2
dans le cas x=2, x^2+y^2=4+y^2=1+y^2
dans les deux cas, x^2+y^2=1
bon, y^2 est un carre donc c'est soit 0 soit 1
ainsi, on a que deux possibilites pour x^2+y^2 :
1+0=1 ou 1+1=2
dans les deux cas, c'est bien different de 0

au lieu de tout refaire ("je suppose ensuite que x\not=0 ...")
il suffit de remarquer que le probleme est "symetrique" , pas besoin de tout refaire pour y ca va etre la meme chose

voila, suis-je plus claire ?

Posté par
Nightmarere : somme de carres 16-07-05 à 01:11

Sinon tout simplement pour le premier on peut écrire :

Si 3$\rm 3|(x^{2}+y^{2}) alors 3$\rm 3|((y^{2}+1)x^{2}-x^{2}y^{2}) c'est à dire 3$\rm 3|x^{2} or 3 est premier donc d'aprés le théorème de Gauss 3$\rm 3|x c'est à dire :
3$\rm x\equiv 0[3]

Le probléme est symétrique en y donc 3$\rm y\equiv0[3]


Jord

Posté par Julye (invité)re : somme de carres 16-07-05 à 01:12

lire : ("je suppose ensuite que y\not=0 ...")

Posté par
Nightmarere : somme de carres 16-07-05 à 01:14

Re

enzo> Non non ce n'est pas parceque je suis modo que je suis connecté , c'est parceque j'ai envie de l'être
Je passe en 1éreS , j'ai déja moin de mérite lol
Toute façon je n'ai pas de mérite tout cour, je suis juste un fan de maths

Julye> Pourquoi devrait-on restreindre la valeur de x à 1 et 2 ?

Posté par Julye (invité)re : somme de carres 16-07-05 à 01:15

mes egalites sont des equivalences modulo 3
( la paresse d'ecrire les \equiv )

Posté par
Nightmarere : somme de carres 16-07-05 à 01:17

Ah daccord je comprend mieux Julye

Mais je pense tout de même que ma démonstration en utilisant une combinaison linéaire est moin "lourde" que faire un double raisonnement comme on l'a fait toi et moi au début (contre-apposition puis disjonction des cas)


Jord

Posté par Julye (invité)re : somme de carres 16-07-05 à 01:21

l'auteur, lui a fait encore "plus court" :
modulo 3, x^2=0 ou 1 et y^2=1
donc x^2+y^2=0 (mod 3) est équivalent a \left\{x^2=0\;({\rm mod} 3)\\y^2=0\;({\rm mod} 3)\right.
ce qui est equivalent a \left\{x=0\\y=0\right.

Posté par
Nightmarere : somme de carres 16-07-05 à 01:24

Oui seulement ça sur une copie avec si peu d'explication ça vaut 0
Je sais que tu n'es pas sur une copie, mais il faut quand même soigner la rédaction , en l'occurence là, telle que la solution est exposée, la rigueur des explications n'est pas au rendez vous.

Et puis ce n'est pas forcément plus cour que ce que j'ai fais alors que moi j'explique ce que j'ai fais


Jord

Posté par Julye (invité)re : somme de carres 16-07-05 à 01:27

ce n'est pas moi ... MON travail je l'ai montre dans mes posts precedents
et avec les explications et ce qui m'a conduit a la solution
d'ailleurs, l'auteur en fait plus que demande, il montre une equivalence alors qu'une implication seulement est demandee

Posté par
Nightmarere : somme de carres 16-07-05 à 01:29

Je sais que ce n'est pas toi

Oui enfin l'implication réciproque est tout de même évidente .... plus que l'implication qu'on nous demande de démontrer.


Jord

Posté par Julye (invité)re : somme de carres 16-07-05 à 01:32

d'ailleurs, plutot que de regarder la solution d'un exercice, je prefere abandonner ou le rechercher plus tard
je suis deja tombee sur des solutions qui etaient enigmatiques par rapport a la question (ce que je dis est bateau ... penser aux profs qui liraient la demonstration de Wiles : enonce simple, demonstration hors de la portee de presque toute la planete)

Posté par Julye (invité)re : somme de carres 16-07-05 à 01:38

je vous souhaite une bonne nuit, je vais aller dormir un peu et vive demain pour continuer mes exercices (mais sans le net)

Posté par
Nightmarere : somme de carres 16-07-05 à 01:39

C'est une bonne mentalité ça (enfin abandonner un peu moin). c'est vrai qu'on est souvent tenté de regarder rapidement la solution qui aprés premiere vue (ou quelques minutes de recherche) nous paré irrésolvable. Mais ce n'est pas du tout la bonne solution.
La volonté reste la meilleur

Oui c'est vrai que pour Wiles , seul 2 ou 3 personnes dans la salle de conférence comprenait ce qu'il écrivait, et encore , seul Wiles lui même comprenait le sens profond de ce qu'il gribouillé sur le tableau noir


Jord

Posté par
Nightmarere : somme de carres 16-07-05 à 01:39

Bonne nuit Julye

Posté par Julye (invité)re : somme de carres 16-07-05 à 01:40

courbes elliptiques, calcul modulaire ... peut-etre dans quelques annees
j'espere

Posté par
Nightmarere : somme de carres 16-07-05 à 01:47

Bon courage alors


Jord


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