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Niveau terminale
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Somme de j

Posté par
Konnichi
14-11-20 à 14:59

Bonjour,
mon professeur nous a donné un challenge: calculer la somme de j^4+j^5+...+j^\left(156 \right) avec j=\exp (i\frac{2\pi }{3})

Or je dois bien avouer que je bloque totalement :/
J'ai récemment appris la somme de 1+j+j^2 mais je suis totalement perdue face à la somme demandé.

Merci beaucoup!

Posté par
Pirho
re : Somme de j 14-11-20 à 15:11

Bonjour,

somme des termes d'une suite géométrique de raison j

Posté par
Konnichi
re : Somme de j 14-11-20 à 15:28

C'est ce que j'ai essayé de faire mais je n'y arrive pas ^^'

j'ai essayé de calculer:
\exp (i\frac{2\pi }{3})*\frac{1-(\exp (i\frac{2\pi}{3})^{153})}{1-\exp (i\frac{2\pi}{3})}
mais j'avoue que je me suis perdu dans les calculs

Posté par
Pirho
re : Somme de j 14-11-20 à 15:43

il te reste à calculer \left (e^{\dfrac{i\,2\pi}{3}}}\right)^\!\!{153}

Posté par
Konnichi
re : Somme de j 14-11-20 à 16:05

cela fait e^{\frac{i2\pi}{3}*153} =e^{i102\pi} et il me semble
que ce soit égal à 1.
Je ne suis pas sûr du tout car cela vaudrait dire que la somme est égale à 0?

Posté par
Pirho
re : Somme de j 14-11-20 à 16:12

je trouve la même chose, on a dû faire la même erreur

Posté par
azerti75
re : Somme de j 14-11-20 à 16:14

Konnichi @ 14-11-2020 à 15:28

C'est ce que j'ai essayé de faire mais je n'y arrive pas ^^'

j'ai essayé de calculer:
\exp (i\frac{2\pi }{3})*\frac{1-(\exp (i\frac{2\pi}{3})^{153})}{1-\exp (i\frac{2\pi}{3})}
mais j'avoue que je me suis perdu dans les calculs


C'est j puissance 4 le premier terme

Posté par
azerti75
re : Somme de j 14-11-20 à 16:19

Ce qui revient au même.......

Posté par
Konnichi
re : Somme de j 14-11-20 à 16:24

Oui il me semble que malgré mon erreur dans l'expression de la somme, vu que 1-\exp ^{\frac{i2\pi}{3}}^{153}=0 alors la somme reste égale à zéro

Posté par
Pirho
re : Somme de j 14-11-20 à 16:26


bonjour  azerti75 oui je l'avais sur ma feuille et j'ai oublié de le dire ce qui est une erreur bien que ça ne change pas la réponse finale

Posté par
Konnichi
re : Somme de j 14-11-20 à 16:42

D'accord, merci beaucoup pour votre aide!

Posté par
ty59847
re : Somme de j 14-11-20 à 16:50

***Bonjour***

j + j2 + j3 : j'avance vers le nord-ouest (j) puis vers le sud-ouest (j2) puis vers l'est (j3) .. et je suis revenu au point de départ.
j4+ j5+j6 : c'est exactement les 3 mêmes pas.  3 pas, dans 3 directions différentes, pour revenir au point de départ.
Et notre somme, c'est 153 pas, mais c'est 51 groupes de 3 pas ... pour tourner en rond. Et revenir au point de départ.

Mais bien entendu, la démarche avec la suite géométrique est correcte aussi.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Somme de j 14-11-20 à 17:09

Bonjour,
Ce que décrit ty59847 revient aussi à ceci :
j4(1+j+j2) + j7(1+j+j2) + .... + j154(1+j+j2) = 0 + 0 +.... + 0

Posté par
Pirho
re : Somme de j 15-11-20 à 10:52

Bonjour Sylvieg

merci, je n'y aurait pas pensé!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Somme de j 15-11-20 à 11:03

De rien
Vous aviez l'air surpris de trouver 0 comme résultat.
ty59847 et moi avons essayé de montrer que ce n'était pas surprenant

Posté par
Pirho
re : Somme de j 15-11-20 à 11:23

Sylvieg @ 15-11-2020 à 11:03


Vous aviez l'air surpris de trouver 0 comme résultat.


personnellement pas du tout!

Posté par
Konnichi
re : Somme de j 15-11-20 à 11:43

Merci beaucoup pour cette autre méthodeSylvieg et ty59847!
Je comprends mieux pourquoi mon professeur a bien assisté sur la somme de 1+ j + j2 maintenant ^^



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