Bonsoir,
j'ai eu du mal à me connecter hier et aujourd'hui il semble que le LaTeX soit en panne.
On peut remarquer que, si il y a des solutions, elles sont de la forme a/44 avec a entier.
Il est presque évident qu'il n'y a pas de solution négative et que 0 est solution.
J'ai trouvé trois autres solutions, mais je ne vois pas comment montrer qu'il n'y en a pas d'autre.
Mon idée de départ est que 1+2+ ⋅⋅⋅ +9=45.

Et je ne vois aucune interprétation géométrique, c'est sans doute ce qui me manque.
En tous cas la question est intéressante.

Bonjour,
En prévision d'éventuelles pannes de LaTeX, je recopie l'énoncé sans l'utiliser :

Calculer la somme des solutions de l'équation suivante :
E(x)+E(2x)+E(3x)+E(4x)+E(5x)+E(6x)+E(7x)+E(8x)+E(9x) = 44x
On s'amuse sans abuser du blankage.

Bonjour à tous les deux

@Sylvieg : Merci pour la traduction , en effet le LaTeX semble hésitant .
@Verdurin : J'ai un peu surjoué l'interprétation graphique , disons qu'elle permet de calculer facilement la somme des racines de l'équation . Sinon tu es sur la bonne piste .

Imod

Bonjour,
j'ai cherché à généraliser à l'équation : somme des n premières parties entières égale à S*x où S est la somme des entiers de 2 à n.
Il y a une formule simple pour le nombre de solutions, c'est S.
En revanche je ne trouve pas de formule générale pour la somme des solutions.
A partirde n=2 je trouve :
1/2, 6, 15, 63/2, 105/2, 89, 131, 379/2 (pour n=9), 511/2, 348, 448, ...

Bonjour Jandri

Je ne pense pas qu'il existe une formule simple donnant S en fonction de n ( elle n'est pas dans l'OEIS ) . Je n'ai rien contre les généralisations mais l'objectif initial est de résoudre le problème à la main .

Imod

Bonjour à tous,
Je me suis amusé à essayer de résoudre ça sur Géogébra.
Je ne suis probablement pas le premier.
Ce qui s'affiche me permet de mieux comprendre pourquoi je ne parvenais pas à le faire à la main...

J'ai trouvé une valeur inattendue:

 Cliquez pour afficher

x=2.5

Bonjour Sanantonio et Dpi

En effet il y a beaucoup de solutions ( le S de Jandri ) . Dans ma réponse à son message S désignait la somme des racines .

Ce qui est amusant , c'est qu'on ne cherche pas à identifier chacune des solutions mais simplement leur somme ce qui peut se résumer à la recherche de 9 termes ( ou n termes avec la généralisation de Jandri ) .

Imod

Je pense qu'il y a 3 solutions.

 Cliquez pour afficher

x=2.5   3.25   3.75

Il y en a beaucoup plus si on en croit Jandri mais on n'est pas obligé de les connaitre pour trouver leur somme .
Imod

Bonjour,

 Cliquez pour afficher

kx - 1 < Ent(k.x) < kx

--> 45x - 9 < 44x <= 45x
0 <= x < 9

Or 44x doit être entier (somme d'entiers) --> x est muliple de 1/44

Les possibilités de solutions sont donc x = :
0 , 1/44 , 2/44 , 3/44 ... 395/44 (396 cas)

On les essaie tous (fait par un programme Python, c'est plus rapide).

--> on trouve que seul x = 0 convient.

Solution unique : x = 0

La première ligne de ma réponse précédente doit être :

kx - 1 < ent(k.x) <= k.x

À candide2 :
il doit y avoir une erreur dans ton programme.
J'ai craqué et j'en ai fait un aussi, je trouve 44 solutions.
Mais je ne vois toujours pas l'astuce permettant de calculer la somme à la main.

Je donne le « programme » :

>>> from math import floor
>>> li=[]
>>> for i in range(396):
	tot=0
	for k in range(1,10):
		tot+=floor(k*i/44)
	if tot==i:
		li.append(i)

Par simple curiosité :
Quelle est la solution suivant x=2.5 ;3.25 ;3.75  ?

@verdurin,

Erreur d'indentation de mon, programme, le voici corrigé :

from math import floor

donc à ma question est  sans objet.....
En fait,je n'ai donné que la liste des solutions  simples (uniquement deux décimales ).

Oui , je pense que Dpi cherchait des solutions décimales et se trouvait bloqué . Pour la recherche de la somme à la main , on se retrouve avec une double sommation de 0 à 43 pour les solutions et de 1 à 9 pour les parties entières . En permutant ces sommes il ne reste plus que 9 inconnues à trouver .
Imod

Ce problème est très intéressant mais j'ai eu beaucoup de mal à démontrer qu'il a exactement 44 solutions !

Je généralise à l'équation "somme des n premières parties entières égale à d*x" où d=n(n+1)/2 - 1 (je fais comme imod en réservant S à la somme des solutions).

Je péfère poser x=y/d et écrire l'équation sous la forme : somme des parties entières des k*y/d égale à y (car y est alors un entier)

La clé de la résolution est de remarquer qu'il y a exactement d solutions, chaque solution y étant caractérisée par son reste modulo d.
Cela se prouve très simplement en posant y=qd+r, l'équation devenant : q=r-somme des parties entières des k*r/d

En notant S la somme des solutions (de l'équation en x) on obtient :
2S= n(d-1) - nombre de couples (k,r) dans [[1,n]]x[[1,d-1]] tels que d divise k*n.

Pour n=9 et d=44, les couples (k,r) sont obtenus pour r=22 avec k pair et r=11 ou 33 avec k multiple de 4, donc 8 couples au total. S vaut donc (9*43-8)/2=379/2.

J'ai trouvé une formule qui utilise la fonction phi d'Euler :

2S= n(d-1) - somme des phi(k)*E(n/k) pour k de 2 à n tel que k divise d.

Par exemple pour n=100 elle donne 252146.

Bonjour Jandri

Je n'ai pas vérifié ta solution pour la généralisation , je donne juste la mienne pour n=9 . J'ai plutôt une vision géométrique des choses et il est assez facile de compter jusqu'à 9 , après l'algèbre prend la parole
Imod


PDF - 85 Ko

Bonsoir imod,

je peux te rassurer, nous avons bien la même formule. Pour faire le lien entre nos formules : tu as écrit x=m+n/44 alors que j'ai écrit x=q+r/44 (en fait je l'ai écrit pour la généralisation avec d à la place de 44).

Il y a une coquille dans mon message du 03-05-26 à 16:03, il faut lire :
2S= n(d-1) - nombre de couples (k,r) dans [[1,n]]x[[1,d-1]] tels que d divise k*r (et pas k*n).

Ton interprétation géométrique est correcte mais à mon avis elle ne facilite pas le calcul.
Je préfère écrire S sous la forme : 2S=n*d - somme(pgcd(k,d) pour k allant de 1 à n)

Quand n=9 et donc d=44 (ton énoncé initial) cela donne :
2S = 9*44 - 5*1 (les k impairs) - 2*2 (les k pairs non multiples de 4) - 2*4 (les k multiples de 4)=396-17=379
d'où S=189,5

Quand n=100 et donc d=5049=27*11*17 le pgcd de k et d peut être égal à 1, 3, 9, 11, 17, 27, 33, 51 ou 99 :
2S=504900 - (57*1+19*3+7*9+6*11+4*17+3*27+2*33+51+99)=504292 d'où S=252146.

En effet c'est une belle généralisation , bravo

J'ai un peu trop vanté mon interprétation graphique , disons quelle permet de répondre à la question initiale sans effort et en s'amusant

Imod

Bonjour,
Moi aussi je trouve le problème très intéressant
Maintenant que le site semble mieux fonctionner, je me permets de demander des explications, sans utiliser LaTeX cependant.

Je me suis contentée d'étudier le cas initial, c'est à dire avec n = 9.
J'ai compris pourquoi il y a 44 solutions ; mais pas comment vous calculez leur somme
Je transcris ce que j'ai compris en utlisant les notations de jandri :
Soit y = 44x.
y est un entier en tant que somme de parties entières. On utilise sa division euclidienne par 44 :
y = 44q + r avec r entier de 0 à 43.
L'équation s'écrit alors E(q+r/44) + E(2q+2r/44) + E(3q+3r/44) + … + E(9q+9r/44) = 44q + r
Equivalent à q = r - ( E(r/44) + E(2r/44) + E(3r/44) + … + E(9r/44) ).
D'où : y = 45r - 44 ( E(r/44) + E(2r/44) + E(3r/44) + … + E(9r/44) ).

Soit f(r) = 45r - 44 ( E(r/44) + E(2r/44) + E(3r/44) + … + E(9r/44) ).
Reste à calculer la somme des f(r) pour r entier de 0 à 43.

J'ai ensuite fait, comme toi, [Imod], mais « à la main » :
Calculer les S(k) avec k de 1 à 9 où S(k) = E(k/44) + E(2k/44) + … + E(43k/44).
Je trouve la même somme finale que toi, mais avec de petites différences dans certains S(k) :
S(3) = 44, S(4) = 65, S(8) = 151 et S(9) = 173.

Quant à ta méthode, jandri, je suis dans le brouillard

Bonjour Sylvieg,

je reconnais ne pas avoir beaucoup détaillé mes calculs.

J'ai détaillé un peu plus et je joins un pdf comme a fait Imod


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Merci jandri
Et bravo pour l'astuce qui permet de simplifier le calcul de la somme des parties entières.
La formule finale est jolie !

Bonjour à tous les deux .

@Sylvieg : J'avais jeté mes brouillons quand j'ai rédigé le PDF , j'ai fait un compte rapide et comme ça collait , je n'ai pas cherché plus loin . Je te fais confiance .

@Jandri : J'avais bien vu la symétrie mais je m'étais embarqué dans des choses bien plus compliquées . Le résultat général est d'une simplicité étonnante : un rectangle privé de quelques carrés unités . Il y a peut-être un peu de géométrie là-dessous

Longue vie au forum

Imod