Bonsoir

La définition d'un projecteur, c'est:  p²= p

(p+q) projecteur ssi (p+q)²=(p+q)

cad p²+pq+qp+q² = p+q

cad p+pq+qp+q = p+q  car p et q sont des projecteurs

cad pq+qp =   en simplifiant.

OK?

Salut

Tu arrives à faire le sens indirect au moins non?

Si poq=qop=0, que vaut (p+q)² ?

Pour le sens direct essaye de montrer que pq=-qp et que pq=qp

Je te laisse avec Jord, je vais manger... (salut Jord )

Salut jeanseb Bon ap' !

Si poq=qop=0, on a bien (p+q)²=p+q

pour le sens direct je suis bloqué en effet

jeanseb t'as donné une partie, essaye de faire l'autre partie.

oui c'est là que j'ai du mal

pq + qp =
pq = -qp
pq = -qpq


mais je vois pas du tout ...

D'accord donc pq=-qp

Reste à montrer que pq=qp.

Or pq=p²q=p(pq)=-pqp
Mais qp=qp²=(qp)p=-pqp

Au final pq=qp
CQFD

merci beaucoup !

2) Montrer alors que Ker(p+q)=Ker(p)Ker(q)

xKer(p+q)(p+q)(x)=0(E)
                              p(x)+q(x)=0(E)


xKer(p)p(x)=0(E)
xKer(q)q(x)=0(E)

mais ... je n'ai rien démontrer, juste donnée les définitions

Il y a un sens évident.

Si on prend x dans Ker(p) inter Ker(q). Alors c'est clair que (p+q)(x)=0 donc

L'inclusion directe maintenant :

Soit x dans Ker(p+q)
On veut montrer que p(x)=0 et q(x)=0

On a (p+q)(x)=0
Soit en appliquant p :
p²(x)+pq(x)=0
mais p²(x)=p(x) et pq=0 d'où p(x)=0
De même en appliquant q !

ok merci !
dernière question:
Montrer que Im(p)Im(q)={0(E)} et que Im(p+q)=Im(p)Im(q):

mais tout d'abord j'aimerais qu'on m'explique la différence entre + et svp

merci

C'est du cours tout ça.

On dit que deux sev sont en somme directe si leur intersection est vide.

Dans le cas de deux sev en somme directe, on remplace simplement le + par un + entouré.

Im(p)={p(x)=p²(x),xE}
Im(p)={q(x)=q²(x),xE}

Euh je n'ai pas compris !

Je crois que tu ne connais pas vraiment ton cours, c'est dommage C'est normal de ne pas réussir à faire tes exercices dans ce cas!

c'est la définition de mon cours justement !

Soit f L(E,F), alors on note Imf={f(x),xE} appelé image de f.
Et avec la définition d'un projecteur ... p²=p et q²=q.

serte je ne connais pas mon cours parfaitement c'est pour cela qu'il est juste sous mon nez ...