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Niveau maths sup
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Somme de projecteurs

Posté par
Jean1418
21-05-22 à 19:11

Bonjour,
soit E un K-espace vectoriel de dimension n (K étant un sous corps de C). Soit p_1,...,p_n des endomorphismes tels que \forall (i,j) \in [\![1;n]\!], p_i \circ p_j =\delta_{i,j} p_i où le delta est le symbole de kronecker. Montrer que \oplus_{i=1}^{n}Im(p_i) ne pose pas de souci. Par contre, comment montrer que pour tout i, rg(p_i)=1 ? Merci par avance.

Posté par
carpediem
re : Somme de projecteurs 21-05-22 à 19:22

salut

il manque quelque chose avec la somme directe ...

si E = F G alors dim E = Dim F + Dim G

...

Posté par
GBZM
re : Somme de projecteurs 21-05-22 à 19:27

Rebonjour,

Tu veux dire que tu sais montrer que les images des p_i sont en somme directe ?
Tu as dû oublier une hypothèse : que les p_i sont tous non nuls. Sinon, ça ne marche pas.
Cette petite remarque t'indiquera peut-être pourquoi ça marche si on fait cette hypothèse.

Posté par
Jean1418
re : Somme de projecteurs 21-05-22 à 19:54

Pardon, il est bien vrai que les p_i sont tous non nuls.
Carpediem, a priori il ne manque rien sur la somme directe.

Puisque les p_i sont tous non nuls, ils ont tous un rang supérieur ou égal à 1. La somme des images étant directe, sa dimension vaut la somme des dimension, si l'une des dimension est strictement supérieur à un par l'absurde, alors la dimension de la somme des images surpasse strictement celle de l'espace E, ce qui n'arrive pas. Merci.

Posté par
Jean1418
re : Somme de projecteurs 21-05-22 à 19:55

En fait j'avais oublié de lire cette partir de l'énoncé qui précisait la non nullité de chaque p_i.

Posté par
carpediem
re : Somme de projecteurs 21-05-22 à 20:46

Jean1418 @ 21-05-2022 à 19:54

Carpediem, a priori il ne manque rien sur la somme directe.

si !!
Jean1418 @ 21-05-2022 à 19:11

Montrer que \oplus_{i=1}^{n}Im(p_i) ne pose pas de souci.
ne veut rien dire ...

il faut écrire  \sum_1^n Im(p_i) = \oplus_{i=1}^{n}Im(p_i) car ru veux montrer que la somme est directe

montrer que pigeon me pose un soucis
montrer que pigeon = oiseau ne me pose pas de soucis

Posté par
Jean1418
re : Somme de projecteurs 21-05-22 à 21:07

Ben non. Le signe \oplus signifie que la somme est directe.

Posté par
Jean1418
re : Somme de projecteurs 21-05-22 à 21:09

On peut dire, et c'est ce qu'on voit couramment dans les sujets, par exemples soient E_1,...,_E_n tels que \oplus_{i=1}^{n}E_i. Cela dépend de la portée qu'on accorde à la notation O_plus, mais cela n'a pas d'importance car on comprend bien.

Posté par
lafol Moderateur
re : Somme de projecteurs 21-05-22 à 22:44

Bonjour
je dois commencer à vieillir, parce que ça me choque, cette notation, pour moi ce 'O plus' est un symbole de somme, et \oplus_{i=1}^{n}E_i est un ensemble, pas une proposition.

"des ensembles F et G tels que H", désolée, mais si H est un ensemble et pas une proposition (avec un sujet et un verbe au minimum), ça ne veut rien dire

Posté par
GBZM
re : Somme de projecteurs 22-05-22 à 08:17

Citation :
on voit couramment dans les sujets

Taratata...
J'en ai vu des sujets, mais je n'ai jamais vu ça.  Ce qu'on voit, c'est "soient E_1,\ldots, E_n des sous-espaces en somme directe".



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