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somme de racines d entier non carrés

Posté par Satchmo (invité) 25-03-04 à 09:37

Bonjour, je suis plongé dans des révisions de maths niveau terminale
à bac + 2 en vue de reprendre des études. Ca marche pas mal, sauf
que je bute sur le problème suivant :
a et b sont entiers, non carrés. Démontrer par l'absurde que la
somme des racines de a et b ne peut pas être un entier. J'ai
essayé plusieurs voies (identités, elevation au carré,..) sans succés.
Je sens que quelque chose m'échappe, mais quoi ? Si vous avez
une piste, merci.

Posté par Nico (invité)re : somme de racines d entier non carrés 25-03-04 à 11:00

Je ne comprend pas bien la question du problème. En effet, on peut
trouver assez facilement a et b tel que racine carrée de la somme
de a et b soit un entier...
Ainsi a=2 et b=14  sont entiers, a+b=16 et racine de 16 = 4 ce qui est
bien un entier... d'où le contre exemple qui montre que l'énoncé
est faux!

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : somme de racines d entier non carrés 25-03-04 à 11:11

Nico, la question n'est pas celle-là.

C'est montrer que :
Avec a et b entiers non carrés, il est impossible d'avoir    
a +   b = un entier.


Posté par Satchmo (invité)re : somme de racines d entier non carrés 25-03-04 à 11:57

Je n'ai pas été très clair, effectivement, J-P a raison. C'est
la somme des racines qui n'est pas un entier, et pas la racine
de la somme.
Merci qd même à Nico pour sa rapidité !

Posté par Satchmo (invité)re : somme de racines d entier non carrés 25-03-04 à 17:06

Je crois bien que j'ai trouvé :
a +b = x (x entier)
b = x -  a
Par les identités remarquables
a - b =x(a - b)
a - b =x(a - x + a)
a - b + x^2=2xa
a,b et x entiers donc 2xa entier
donc 2a entier
donc a est un nombre composé d'une partie entière
e et d'une partie décimale égale à 0.5
a=e+0.5
On élève au carré
a=e^2+e+0.25
donc a ne peut pas être entier, comme dit dans énoncé.

A votre avis, ça marche ?
Merci

Posté par (invité)re : somme de racines d entier non carrés 25-03-04 à 19:21

Je ne pense pas que c'est correct.

A partir de 2x.Va entier, on ne peut pas déduire que 2.Va est entier.

Et à partir de 2Va entier, on ne peut pas dire que Va est un nombre
composé d'une partie entière e et d'une partie décimale
égale à 0.5 (faux si 2Va était un entier pair).

Posté par
Victor
re : somme de racines d entier non carrés 25-03-04 à 19:32

La personne précédente a raison :
si x=3 et Va=1/3, on a aussi
2x*Va=2 entier mais 2Va=2/3 n'est pas un entier.

@+

Posté par Satchmo (invité)re : somme de racines d entier non carrés 25-03-04 à 20:09

Salut à tous.
pour Victor : dans l'énoncé de base, a est un entier, ce qui n'est
pas le cas de 1/3 au carré.

Pour Anonyme : dans l'énoncé de base, a n'est pas un carré,
donc sa racine n'est pas un entier. Donc, quels sont les nombres
non entiers qui, multipliés par 2, donnent un entier ?

Rappel : si a et b entiers, non carrés, est-ce que la somme de leur racine
peut-être un entier.

Posté par (invité)re : somme de racines d entier non carrés 25-03-04 à 22:19

Salut,

juste en passant

2xVa doit etre un entier p

2xVa=p
Va=p/2x
a=(p/2x)²

or a n'est pas un carré d'ou l'impossibilité.

Posté par Anonyme 3 (invité)re : somme de racines d entier non carrés 26-03-04 à 12:46

Et qui te dit Anonyme 2 que (p/2x) est un entier ?

Posté par (invité)re : somme de racines d entier non carrés 26-03-04 à 22:27

énoncer : a et b sont entiers, non carrés

dans le cas ou p/2x est un entier alors a=entier² qui est en contradiction
avec l'énoncer.

dans le cas contraire a=(non_entier)²  qui est aussi en contradiction
avec l'énoncé

Peu importe de la valeur de p/2x on trouve que a est un carré. Donc ne
satisfait pas l'énoncé. (on ne peut avoir a = entier ET non
carré)

Posté par satchmo (invité)re : somme de racines d entier non carrés 27-03-04 à 18:50

Salut,
pour "a entier et non carré", j'avais compris que a ne peut pas
avoir des valeurs telles que 4, 9, 16, ... de sorte que sa racine
ne puisse être un entier.
Si la racine existe, a est forcément le carré de quelque chose. La contrainte
est qu'il ne peut pas être le carré d'un entier.
Sinon, en poussant l'absurde, on peut écrire que
a=(Va)² n'est pas vrai .....puisque a n'est pas un carré!
C'est plus des maths, c'est de la philo  
@+



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